Мало що викликає страх у початківця студента-алгебри, як бачення показників - таких виразів, якр2, х3 або навіть жахливимрх- спливаюче у рівняннях. Для того, щоб розв’язати рівняння, потрібно якось змусити ці показники піти. Але по правді кажучи, цей процес не так вже й складний, коли ви вивчите ряд простих стратегій, більшість з яких укорінені в основних арифметичних операціях, якими ви користуєтесь роками.
Спростіть та поєднайте подібні умови
Іноді, якщо вам пощастить, ви можете мати показники степенів у рівнянні, які перекреслюють одне одного. Наприклад, розглянемо таке рівняння:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2 (x ^ 2 + 2)
З пильним оком і невеликою практикою ви можете помітити, що терміни експоненти насправді перекреслюють один одного, отже:
Спростивши праву частину зразка рівняння, ви побачите, що у вас є однакові показники ступеня з обох сторін знака рівності:
у + 2х ^ 2 - 5 = 2х ^ 2 + 4
Віднімаємо 2х2 з обох сторін рівняння. Оскільки ви виконували одну і ту ж операцію з обох сторін рівняння, ви не змінили його значення. Але ви ефективно видалили показник ступеня, залишивши вам:
y - 5 = 4
За бажанням можна закінчити вирішення рівняння длярдодавши 5 до обох сторін рівняння, отримавши:
y = 9
Часто проблеми будуть не такими простими, але це все одно можливість, на яку варто звернути увагу.
Шукайте можливості врахувати фактори
З часом, практикою та великою кількістю занять з математики ви будете збирати формули для множення певних типів багаточленів. Це дуже схоже на збір інструментів, які ви зберігаєте в наборі інструментів, поки вони вам не знадобляться. Фокус полягає в тому, щоб навчитися визначати, які поліноми можна легко розкласти на множники. Ось деякі найпоширеніші формули, якими ви можете скористатися, із прикладами того, як їх застосовувати:
Якщо ваше рівняння містить два квадратні числа зі знаком мінус, наприклад,х2 − 42 - ви можете врахувати їх за формулоюа2 − b2 = (a + b) (a - b). Якщо застосувати формулу до прикладу, до поліномах2 − 42 фактори до (х + 4)(х − 4).
Фокус тут полягає в тому, щоб навчитися розпізнавати числа в квадраті, навіть якщо вони не записані як експоненти. Наприклад, прикладх2 − 42 швидше буде записано якх2 − 16.
Якщо ваше рівняння містить два кубові числа, які складаються, ви можете розкласти їх на множники за допомогою формули
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Розглянемо прикладр3 + 23, яку ви, швидше за все, побачите записаноюр3 + 8. Коли ви підставляєтері 2 у формулу дляаіbвідповідно, у вас є:
(y + 2) (y ^ 2 - 2y + 2 ^ 2)
Очевидно, показник степеня не зник повністю, але іноді цей тип формул є корисним, проміжним кроком до позбавлення від нього. Наприклад, якщо врахувати таким чином множник дробу, це може створити терміни, які потім можна скасувати за допомогою термінів із знаменника.
Якщо ваше рівняння містить два кубові числа з однимвіднімаєтьсяз іншого, ви можете врахувати їх за формулою, дуже подібною до тієї, що показана в попередньому прикладі. Насправді розташування знака мінус - це єдина різниця між ними, оскільки формула різниці кубів така:
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Розглянемо прикладх3 − 53, що швидше за все було б записано якх3 − 125. Підмінюючихдляаі 5 заb, ти отримуєш:
(x - 5) (x ^ 2 + 5x + 5 ^ 2)
Як і раніше, хоча це не повністю усуває показник, він може бути корисним проміжним кроком на цьому шляху.
Виділіть і застосуйте радикал
Якщо жоден із наведених вище трюків не працює, і у вас є лише один термін, що містить показник ступеня, ви можете використовувати найпоширеніший метод "позбавлення" "показника ступеня": Ізолюйте показник степеня з одного боку рівняння, а потім застосуйте відповідний радикал до обох сторін рівняння рівняння. Розглянемо приклад
z ^ 3 - 25 = 2
Виділіть показник степеня, додавши по обидві сторони рівняння 25. Це дає вам:
z ^ 3 = 27
Індекс кореня, який ви застосовуєте, тобто малий номер верхнього індексу перед знаком радикалу, повинен бути таким самим, як показник ступеня, який ви намагаєтеся видалити. Отож, оскільки термін експоненти у прикладі - це куб або третій ступінь, ви повинні застосувати корінь куба або третій корінь, щоб видалити його. Це дає вам:
\ sqrt [3] {z ^ 3} = \ sqrt [3] {27}
Що в свою чергу спрощує:
z = 3