Як розв’язати кубічні рівняння

Розв’язування поліноміальних функцій є ключовою навичкою для всіх, хто вивчає математику або фізику, але впоратися з процесом - особливо, коли мова йде про функції вищого порядку - може бути досить складно. Кубічна функція - це один із найскладніших типів поліноміального рівняння, який вам, можливо, доведеться вирішувати вручну. Хоча це може бути не так просто, як вирішення квадратного рівняння, є кілька методів ви можете використати, щоб знайти рішення кубічного рівняння, не вдаючись до детальних сторінок та сторінок алгебра.

Кубічна функція - це поліном третього ступеня. Загальна поліноміальна функція має вигляд:

Ось, х - змінна, п просто будь-яке число (і ступінь багаточлена), k є константою, а інші літери є постійними коефіцієнтами для кожної потужності х. Отже, кубічна функція має п = 3, і це просто:

Де в цьому випадку, d є константою. Взагалі кажучи, коли вам потрібно вирішити кубічне рівняння, ви отримаєте його у вигляді:

Кожне рішення для х називається “коренем” рівняння. Кубічні рівняння мають або один дійсний корінь, або три, хоча їх можна повторити, але завжди є принаймні одне рішення.

Тип рівняння визначається найбільшою ступенем, тому у прикладі вище це не буде кубічним рівнянням, якщо a = 0, оскільки найвищий термін влади буде bx² і це буде квадратне рівняння. Це означає, що наступні всі кубічні рівняння:

Найпростіший спосіб вирішити кубічне рівняння включає трохи здогадок та алгоритмічний тип процесу, який називається синтетичним поділом. Однак початок, в основному, такий самий, як метод проб і помилок для рішень кубічних рівнянь. Спробуйте з’ясувати, що є одним із коренів, здогадавшись. Якщо у вас є рівняння, де перший коефіцієнт, а, дорівнює 1, то трохи легше вгадати одне з коренів, оскільки вони завжди є факторами постійного доданка, який представлений вище d.

Отже, дивлячись на таке рівняння, наприклад:

Ви повинні вгадати одне зі значень для х, але оскільки а = 1 у цьому випадку ви знаєте, що яким би не було значення, воно повинно бути коефіцієнтом 24. Перший такий коефіцієнт - 1, але це залишило б:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Що не дорівнює нулю, і −1 залишило б:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Що знову не дорівнює нулю. Далі, х = 2 дасть:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Черговий провал. Намагається х = −2 дає:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Це означає х = −2 - корінь кубічного рівняння. Це показує переваги та недоліки методу спроб та помилок: Ви можете отримати відповідь без особливих зусиль думка, але це трудомістко (особливо якщо вам доведеться перейти до вищих факторів, перш ніж знайти корінь). На щастя, коли ви знайшли один корінь, ви можете легко розв’язати решту рівняння.

Ключ включає теоретичну теорему. Це стверджує, що якщо х = s є розв’язком, тоді (х – s) - коефіцієнт, який можна витягнути з рівняння. У цій ситуації s = −2, і так (х + 2) - це фактор, який ми можемо витягнути, щоб залишити:

Терми у другій групі дужок мають вигляд квадратного рівняння, тому, якщо ви знайдете відповідні значення для а і b, рівняння можна розв’язати.

Це може бути здійснено за допомогою синтетичного поділу. Спочатку запишіть коефіцієнти вихідного рівняння у верхньому рядку таблиці з розділовою лінією, а потім відомим коренем праворуч:

Залиште один запасний рядок, а потім додайте горизонтальну лінію під ним. Спочатку візьміть перше число (у цьому випадку 1) до рядка під горизонтальною лінією

Тепер помножте щойно збите число на відомий корінь. У цьому випадку 1 × −2 = −2, і це записується під наступним числом у списку наступним чином:

Потім додайте числа у другому стовпці і поставте результат нижче горизонтальної лінії:

Тепер повторіть процес, який ви щойно пройшли, з новим числом під горизонтальною лінією: Помножте на root, поставте відповідь у порожній простір у наступному стовпці, а потім додайте стовпець, щоб отримати нове число на нижній ряд. Це залишає:

А потім пройдіть процес останнього часу.

Той факт, що остання відповідь дорівнює нулю, говорить про те, що ви отримали дійсний корінь, тож якщо це не дорівнює нулю, ви десь помилились.

Тепер нижній рядок повідомляє вам фактори трьох термінів у другому наборі дужок, тож ви можете написати:

І так:

Це найважливіший етап рішення, і закінчити з цього моменту можна багатьма способами.

Після того, як ви видалили фактор, ви можете знайти рішення за допомогою розкладання на множники. З наведеного вище кроку це, по суті, та сама проблема, що і факторизація квадратного рівняння, яке в деяких випадках може бути складним завданням. Однак для виразу:

Якщо ви пам’ятаєте, що два числа, які ви вводите в дужки, потрібно додати, щоб отримати другий коефіцієнт (7), і помножити, щоб отримати третій (12), досить легко зрозуміти, що в цьому випадку:

Ви можете множити це, щоб перевірити, якщо хочете. Не засмучуйтесь, якщо ви не бачите факторизації відразу; це вимагає трохи практики. Це залишає вихідне рівняння таким:

Що можна одразу побачити, має рішення х = −2, 3 та 4 (усі вони є коефіцієнтами 24, вихідна константа). Теоретично також можна побачити всю факторизацію, починаючи з початкової версії рівняння, але це набагато більше більш складним, тому краще знайти одне рішення методом спроб і помилок і скористатися наведеним вище підходом, перш ніж намагатись визначити a факторизація.

Якщо ви намагаєтесь побачити факторизацію, ви можете використовувати формулу квадратного рівняння:

Щоб знайти інші рішення.

Незважаючи на те, що набагато більший і менш простий у вирішенні, існує простий вирішувач кубічних рівнянь у формі кубічної формули. Це як формула квадратного рівняння, оскільки ви просто вводите свої значення а, b, c і d отримати рішення, але це просто набагато довше.

У ньому зазначено, що:

де

і

Використання цієї формули трудомістке, але якщо ви не хочете використовувати метод проб і помилок для рішень кубічних рівнянь, а потім квадратну формулу, це спрацьовує, коли ви все це переглядаєте.