У математиці іноді виникає потреба довести, чи функції залежні чи незалежні одна від одної в лінійному сенсі. Якщо у вас є дві функції, які лінійно залежать, графік рівнянь цих функцій призводить до точок, які перекриваються. Функції з незалежними рівняннями не збігаються, коли графуються. Одним із методів визначення залежності чи незалежності функцій є обчислення функції Вронського.
Що таке Вронський?
Вронскіан з двох або більше функцій - це те, що відоме як детермінанта, яка є спеціальною функцією, яка використовується для порівняння математичних об'єктів та доведення певних фактів про них. У випадку Вронського детермінант використовується для доказу залежності або незалежності між двома або більше лінійними функціями.
Матриця Вронського
Для обчислення Вронського для лінійних функцій функції потрібно розв'язувати за однаковим значенням у матриці, що містить як функції, так і їх похідні. Прикладом цього є
W (f, g) (t) = \ початок {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
який забезпечує Вронськану для двох функцій (
fіg), які вирішуються для одного значення, яке більше нуля (т); ви можете побачити дві функціїf(т) іg(т) у верхньому рядку матриці та похідніf'(т) іg'(т) в нижньому ряду. Зверніть увагу, що Вронскіан можна використовувати і для більших наборів. Якщо, наприклад, ви тестуєте три функції за допомогою Вронського, тоді ви можете заповнити матрицю функціями та похіднимиf(т), g(т) іh(т).Розв’язування Вронського
Отримавши функції, розміщені в матриці, перемножте кожну функцію на похідну від іншої функції і відніміть перше значення від другого. Для прикладу вище це дає вам
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Якщо остаточна відповідь дорівнює нулю, це показує, що ці дві функції є залежними. Якщо відповідь щось інше, ніж нуль, функції незалежні.
Приклад Вронського
Щоб дати вам краще уявлення про те, як це працює, припустимо це
f (t) = x + 3 \ text {і} g (t) = x - 2
Використовуючи значеннят= 1, ви можете вирішити функції як
f (1) = 4 \ text {і} g (1) = -1
Оскільки це основні лінійні функції з нахилом 1, похідні обохf(т) іg(т) дорівнює 1. Перехресне множення ваших значень дає
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
що забезпечує кінцевий результат 5. Хоча лінійні функції мають однаковий нахил, вони незалежні, оскільки їх точки не перекриваються. Якщоf(т) дав результат -1 замість 4, Вронскіан дав би замість результату нуль, щоб вказати залежність.