Нормальна крива - це назва графіка стандартний нормальний розподіл ймовірностей, саме про це говорять люди (часто несвідомо), коли згадують будь-яку «криву дзвоника», яка показує, де стоять люди чи інші змінні відносно певного середнього чи середнього показника.
Стандартна нормальна крива забезпечує як візуальне, так і чисельне відображення того, як дана змінна розподіляється між сукупністю, коли Як відомо, реальна ситуація, представлена функцією, має симетричний розподіл у сукупності, що цікавить (звідси "дзвін" форма). Сюди може входити IQ або зріст чоловіків, який, як імовірно, коливатиметься до однієї сторони середнього значення, як і до іншої, а також, ймовірно, буде змінюватися на ту саму величину.
Усі нормальні криві та пов'язані з ними дані мають певні спільні атрибути, що дозволяють генерувати числових таблиць, що дозволяють вирішувати значення площі замість більш складних математичних обчислень.
Стандартний нормальний розподіл
За будь-якого нормального розподілу, за визначенням, трохи менше 68 відсотків точок даних потрапляють в межах одного стандартного відхилення середнього значення сукупності чи вибіркової сукупності. Близько 95 відсотків знаходяться в межах двох стандартних відхилень, а 99,9 відсотка лежать в межах трьох стандартних відхилень.
Кожному знаку стандартного відхилення присвоюється ціле число щодо середнього (наприклад, -3, -2, 1, 1, 2, 3) і присвоюється змінна z. Це значення, або z-оцінка, також може приймати нецілі значення (наприклад, -2,58).
Z-оцінки використовуються для визначення ймовірності події, що відбулася в межах певного діапазону можливостей. Наприклад, якщо вам кажуть, що середнє та стандартне відхилення для IQ (коефіцієнт інтелекту) становлять 100 і 20 балів, що робить z = 0 для IQ = 100 і z = 1,0 для IQ = 120, і вас просять вказати ймовірність того, що випадково обрана людина матиме IQ 140 або вище, ви використовуєте z-таблицю, щоб знайти рішення.
Площа під нормальною кривою
У більшості випадків у математиці площа під кривою графіка рівняння знаходить шляхом маніпуляцій унікальні елементи цього рівняння безпосередньо, наприклад, шляхом інтегрування кривої між координатами x інтерес. За допомогою нормальної кривої ви замість цього шукаєте одне або два числа в таблиці, що називаються z-значеннями, і, якщо потрібно, виконуєте крок віднімання.
Площі під усією нормальною кривою, незалежно від її точної форми, присвоюється значення 1,0. Всі часткові площі під Таким чином, нормальна крива є десятковими числами від 0 до 1 і може бути легко перетворена у відсотки, помноживши їх на 100.
Z-таблиці дозволяють читати показники до сотого місця в балах, щоб дати площі в чотири або п’ять значущих цифр. Це робиться шляхом отримання десятого місця на лівій осі, а потім читання через відповідний рядок, щоб отримати соте місце.
- Це пояснює, чому частка площі зліва від z = -2,58 дорівнює .00494.
Нормальний розподіл: площа між двома точками
Припустимо, що в тесті із середнім значенням 80 та стандартним відхиленням 10 ви хочете знати, який відсоток студентів мав бали від 65 до 85.
Ви б почали з пошуку верхня та нижня z-оцінки. Це робиться шляхом віднімання середнього від верхньої межі та ділення на стандартне відхилення: (85 - 80) / 10 = 0,50. Потім ви знаходите нижню межу таким же чином: (65 - 80) / 10 -1,50.
Тепер ви можете призначити значення площі цим z-оцінкам, звернувшись до таблиці. Ці значення складають 0,68916 для z = 0,5 та 0,06681 для z = 1,5. Кожна з цих областей представляє область під кривою від лівого "хвоста" до значення x, про яке йдеться, тому для площі між двома точками x = 65 і x = 85 ви віднімаєте менше значення від більшого, щоб отримати 0.63135.
Таким чином, 63,1 відсотка балів можна було очікувати в межах від 65 до 85, враховуючи стандартне відхилення 10 при нормальному розподілі.