Навчання мати справу з показниками є невід’ємною частиною будь-якої математичної освіти, але, на щастя, правила їх множення та ділення відповідають правилам для не дробових показників. Першим кроком до розуміння того, як поводитися з дробовими показниками, є отримання короткого опису того, чим вони є, а потім можна поглянути на способи комбінування показників, коли їх множать або ділять, і вони мають однакові база. Коротше кажучи, ви додаєте експоненти разом, коли множите, і віднімаєте один від іншого при діленні, за умови, що вони мають однакову основу.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Помножте доданки на показники степеня, використовуючи загальне правило:
ха + хb = х(а + b)
І розділіть терміни з показниками ступеня, використовуючи правило:
ха ÷ хb = х(а – b)
Ці правила працюють з будь-яким виразом замістьаіb, навіть дроби.
Що таке дробові показники?
Дробові експоненти забезпечують компактний і корисний спосіб вираження квадратних, кубових та вищих коренів. Знаменник на показнику ступеня говорить вам, який корінь із “базового” числа представляє цей термін. У такий термін, як
ха, ти телефонуєшхоснова іапоказник степеня. Отже, дробовий показник покаже вам:x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Знаменник два на показнику ступеня говорить вам, що ви берете квадратний корінь зху цьому виразі. Те саме основне правило застосовується до вищих коренів:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
І
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Ця закономірність продовжується. Для конкретного прикладу:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
І
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Правила показників дробу: множення дробових показників з тією ж основою
Помножте доданки на дробові показники (за умови, що вони мають однакову основу), склавши показники степеня. Наприклад:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Оскільких1/3 означає "куб коріньх, ”Цілком логічно, що це помножене на себе вдвічі дає результатх. Ви також можете натрапити на такі прикладих1/3 × х1/3, але ви маєте справу з ними точно так само:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Той факт, що вираз у кінці все ще є дробовим показником, не впливає на процес. Це можна спростити, якщо ви це зауважитех2/3 = (х1/3)2 = ∛х2. З таким виразом не має значення, чи береш ти спочатку корінь чи потужність. Цей приклад ілюструє, як їх обчислити:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Оскільки кубовий корінь з 8 легко опрацювати, вирішуйте це наступним чином:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Отже, це означає:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Ви також можете зіткнутися з продуктами дробових показників з різними числами у знаменниках дробів, і ви можете додати ці показники так само, як і інші дроби. Наприклад:
\ початок {вирівняно} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ кінець {вирівняний}
Це всі конкретні вирази загального правила множення двох виразів на показники степеня:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Правила показників дробу: Поділ дробових показників на ту саму основу
Боріться з діленнями двох чисел з дробовими показниками, віднімаючи показник, який ділите (ділене), на той, який ділите (дивіденд). Наприклад:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Це має сенс, оскільки будь-яке число, поділене саме на себе, дорівнює одиниці, і це узгоджується зі стандартним результатом, що будь-яке число, підняте до степеня 0, дорівнює одиниці. Наступний приклад використовує числа як основи та різні показники ступеня:
\ початок {вирівняно} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ кінець {вирівняний}
Що ви також можете побачити, якщо відзначите, що 161/2 = 4 і 161/4 = 2.
Як і при множенні, у вас також можуть вийти дробові показники, у чисельнику яких є число, відмінне від одиниці, але ви маєте справу з ними однаково.
Вони просто виражають загальне правило ділення показників:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Множення та ділення дробових показників у різних основах
Якщо основи термінів різні, не існує простого способу множення або ділення показників. У цих випадках просто обчисліть значення окремих доданків, а потім виконайте необхідну операцію. Єдиний виняток - якщо показник ступеня однаковий, і в цьому випадку їх можна множити або ділити наступним чином:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4