Три методи, які найчастіше використовуються для розв’язування систем рівнянь, - це заміщення, елімінація та доповнені матриці. Підстановка та усунення - це прості методи, які можуть ефективно вирішити більшість систем з двох рівнянь за кілька простих кроків. Метод доповнених матриць вимагає більше кроків, але його застосування поширюється на більшу різноманітність систем.
Заміна
Підстановка - це метод вирішення систем рівнянь шляхом вилучення всіх змінних, крім однієї, з одного з рівнянь, а потім розв’язання цього рівняння. Це досягається виділенням іншої змінної у рівняння, а потім заміною значень цих змінних в іншому рівнянні. Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь x + y = 4, 2x - 3y = 3, у першому виділіть змінну x рівняння, щоб отримати x = 4 - y, потім підставити це значення y у друге рівняння, щоб отримати 2 (4 - y) - 3y = 3. Це рівняння спрощується до -5y = -5 або y = 1. Підключіть це значення до другого рівняння, щоб знайти значення x: x + 1 = 4 або x = 3.
Ліквідація
Елімінація - це ще один спосіб вирішення систем рівнянь шляхом переписування одного з рівнянь у термінах лише однієї змінної. Метод усунення досягає цього шляхом додавання або віднімання рівнянь одне від одного, щоб скасувати одну зі змінних. Наприклад, додавання рівнянь x + 2y = 3 і 2x - 2y = 3 дає нове рівняння, 3x = 6 (зауважте, що умови y скасовано). Потім система вирішується за допомогою тих самих методів, що і для заміщення. Якщо неможливо скасувати змінні в рівняннях, потрібно буде помножити все рівняння на коефіцієнт, щоб збіг коефіцієнтів.
Розширена матриця
Доповнені матриці також можуть бути використані для вирішення систем рівнянь. Розширена матриця складається з рядків для кожного рівняння, стовпців для кожної змінної та доповненого стовпця, що містить постійний доданок з іншого боку рівняння. Наприклад, доповнена матриця для системи рівнянь 2x + y = 4, 2x - y = 0 дорівнює [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
Визначення розчину
Наступний крок передбачає використання елементарних операцій з рядками, таких як множення або ділення рядка на константу, відмінну від нуля, і додавання або віднімання рядків. Метою цих операцій є перетворення матриці у форму ешелону рядків, у якій першим ненульовим записом у кожному рядку є 1, записи вгорі та внизу цього запису - всі нулі, і перший ненульовий запис для кожного рядка завжди знаходиться праворуч від усіх таких записів у рядках над ним. Форма рядкового ешелону для вищезазначеної матриці - [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Значення першої змінної задається першим рядком (1x + 0y = 1 або x = 1). Значення другої змінної задається другим рядком (0x + 1y = 2 або y = 2).
Програми
Підстановка та усунення є більш простими методами розв’язування рівнянь і використовуються набагато частіше, ніж доповнені матриці в базовій алгебрі. Метод заміщення особливо корисний, коли одна зі змінних вже виділена в одному з рівнянь. Метод усунення корисний, коли коефіцієнт однієї зі змінних однаковий (або його негативний еквівалент) у всіх рівняннях. Основною перевагою доповнених матриць є те, що вона може бути використана для розв’язування систем з трьох і більше рівнянь у ситуаціях, коли заміщення та виключення є нездійсненними або неможливими.