Кожен студент алгебри на вищих рівнях повинен навчитися розв'язувати квадратні рівняння. Це різновид поліноміального рівняння, яке включає ступінь 2, але жодне вище, і вони мають загальний вигляд:сокира2 + bx + c= 0. Ви можете вирішити їх за допомогою формули квадратного рівняння, розклавши на множники або заповнивши квадрат.
TL; DR (занадто довгий; Не читав)
Спочатку шукайте факторизацію для розв’язання рівняння. Якщо немає жодного, крімbкоефіцієнт ділиться на 2, заповніть квадрат. Якщо жоден з підходів не є простим, використовуйте формулу квадратного рівняння.
Використання факторизації для розв’язання рівняння
Факторизація використовує той факт, що права частина стандартного квадратного рівняння дорівнює нулю. Це означає, що якщо ви можете розділити рівняння на два доданки в дужках, помножених один на одного, ви можете розробити рішення, думаючи про те, що зробить кожну дужку рівною нулю. Для конкретного прикладу:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Порівняйте це зі стандартною формою:
сокира ^ 2 + bx + c = 0
У прикладіа = 1, b= 6 іc= 9. Завдання розкладання на множники полягає у знаходженні двох чисел, які складаються, щоб отримати число вbзнайдіть і помножте разом, щоб отримати число в місці дляc.
Отже, представляючи числа черезdіe, ви шукаєте цифри, які задовольняють:
d + e = b
Або в даному випадку, сb = 6:
d + e = 6
І
d × e = c
Або в даному випадку, сc = 9:
d × e = 9
Зосередьтеся на пошуку чисел, які є факторамиc, а потім складіть їх, щоб побачити, чи рівні вониb. Коли у вас є свої номери, розмістіть їх у такому форматі:
(x + d) (x + e)
У наведеному прикладі обидваdіeскладають 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Якщо ви помножите дужки, у вас знову з’явиться оригінальний вираз, і це хороша практика перевірити свою факторизацію. Ви можете пройти цей процес (помноживши по черзі першу, внутрішню, зовнішню, а потім останню частини дужок - докладніше див. У Ресурсах), щоб переглянути його в зворотному порядку:
\ begin {вирівнювання} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {вирівняно}
Факторизація ефективно проходить через цей процес в зворотному напрямку, але це може бути складно розробити правильний спосіб врахувати квадратне рівняння, і цей метод не є ідеальним для кожного квадратного рівняння для цього причина. Часто доводиться вгадувати факторизацію, а потім перевіряти.
Зараз проблема полягає в тому, що будь-який з виразів у дужках виходить рівним нулю через ваш вибір значення длях. Якщо будь-яка дужка дорівнює нулю, все рівняння дорівнює нулю, і ви знайшли рішення. Подивіться на останній етап [(х + 3) (х+ 3) = 0] і ви побачите, що єдиний раз, коли дужки виходять на нуль, це якщох= −3. Однак у більшості випадків квадратні рівняння мають два рішення.
Розділення на факторії ще складніше, якщоане дорівнює одиниці, але сфокусуватись на простих випадках спочатку краще.
Завершення квадрата для розв’язання рівняння
Заповнення квадрата допомагає вирішити квадратні рівняння, які неможливо легко розкласти на множники. Цей метод може працювати для будь-якого квадратного рівняння, але деякі рівняння підходять йому більше, ніж інші. Підхід передбачає перетворення виразу на ідеальний квадрат та його вирішення. Загальний ідеальний квадрат розширюється таким чином:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Щоб розв’язати квадратне рівняння, заповнивши квадрат, отримайте вираз у формі праворуч від вищезазначеного. Спочатку розділіть число наbрозташуйте на 2, а потім отримайте результат у квадрат. Отже для рівняння:
x ^ 2 + 8x = 0
Коефіцієнтb= 8, отжеb÷ 2 = 4 і (b ÷ 2)2 = 16.
Додайте це до обох сторін, щоб отримати:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Зверніть увагу, що ця форма відповідає ідеальній квадратній формі, зd= 4, отже 2d= 8 іd2 = 16. Це означає що:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Вставте це в попереднє рівняння, щоб отримати:
(x + 4) ^ 2 = 16
Тепер вирішимо рівняння длях. Візьміть квадратний корінь з обох сторін, щоб отримати:
x + 4 = \ sqrt {16}
Відніміть 4 з обох сторін, щоб отримати:
x = \ sqrt {16} - 4
Корінь може бути позитивним або негативним, а прийняття негативного кореня дає:
x = -4 - 4 = -8
Знайдіть інше рішення з додатним коренем:
x = 4 - 4 = 0
Тому єдиним ненульовим рішенням є −8. Перевірте це з оригінальним виразом для підтвердження.
Використання квадратної формули для розв’язання рівняння
Формула квадратного рівняння виглядає більш складною, ніж інші методи, але це найнадійніший метод, і ви можете використовувати його в будь-якому квадратному рівнянні. Рівняння використовує символи стандартного квадратного рівняння:
сокира ^ 2 + bx + c = 0
І стверджує, що:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Вставте відповідні числа на свої місця і попрацюйте за формулою для розв’язування, пам’ятаючи спробувати як відняти, так і додати квадратний кореневий доданок і зауважити обидві відповіді. Для наступного прикладу:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Ти маєша = 1, b= 6 іc= 5. Отже, формула дає:
\ початок {вирівняно} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {align}
Прийом позитивного знака дає:
\ begin {align} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align}
А прийняття негативного знаку дає:
\ begin {align} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {align}
Які два рішення для рівняння.
Як визначити найкращий метод розв’язання квадратних рівнянь
Шукайте факторизацію, перш ніж спробувати щось інше. Якщо ви можете його помітити, це найшвидший і найпростіший спосіб вирішити квадратне рівняння. Пам'ятайте, що ви шукаєте два числа, які складаються зbкоефіцієнт і помножте, щоб отриматиcкоефіцієнт. Для цього рівняння:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Ви можете помітити, що 2 + 3 = 5 і 2 × 3 = 6, отже:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Іх= −2 абох = −3.
Якщо ви не бачите факторизації, перевірте, чи єbкоефіцієнт ділиться на 2, не вдаючись до дробів. Якщо так, заповнення квадрата - це, мабуть, найпростіший спосіб вирішити рівняння.
Якщо жоден з підходів не здається придатним, використовуйте формулу. Це здається найскладнішим підходом, але якщо ви на іспиті або іншим способом підштовхуєте час, це може зробити процес набагато менш напруженим і набагато швидшим.