Елементарна алгебра - одна з основних галузей математики. Алгебра вводить концепцію використання змінних для представлення чисел і визначає правила, як маніпулювати рівняннями, що містять ці змінні. Змінні важливі, оскільки вони дозволяють формулювати узагальнені математичні закони і дозволяють вводити невідомі числа до рівнянь. Саме ці невідомі числа є фокусом задач алгебри, які зазвичай пропонують вам вирішити для зазначеної змінної. "Стандартні" змінні в алгебрі часто представляють як x та y.
Розв’язування лінійних та параболічних рівнянь
Перемістіть будь-які постійні значення зі сторони рівняння зі змінною на іншу сторону знака рівності. Наприклад, для рівняння
4x ^ 2 + 9 = 16
відніміть 9 з обох сторін рівняння, щоб видалити 9 із змінної сторони:
4x ^ 2 + 9 - 9 = 16 - 9
що спрощує до
4x ^ 2 = 7
Розділіть рівняння на коефіцієнт змінного доданка. Наприклад,
\ text {if} 4x ^ 2 = 7 \ text {тоді} \ frac {4x ^ 2} {4} = \ frac {7} {4}
в результаті чого
x ^ 2 = 1,75
Візьміть правильний корінь рівняння, щоб видалити показник ступеня змінної. Наприклад,
\ text {if} x ^ 2 = 1,75 \ text {тоді} \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {1,75}
в результаті чого
х = 1,32
Вирішити для зазначеної змінної з радикалами
Виділіть вираз, що містить змінну, за допомогою відповідного арифметичного методу, щоб скасувати константу на стороні змінної. Наприклад, якщо
\ sqrt {x + 27} + 11 = 15
ви б виділили змінну за допомогою віднімання:
\ sqrt {x + 27} + 11-11 = 15-11 = 4
Підніміть обидві сторони рівняння до степеня кореня змінної, щоб позбутися змінної кореня. Наприклад,
\ sqrt {x + 27} = 4 \ text {тоді} (\ sqrt {x + 27}) ^ 2 = 4 ^ 2
що дає вам
х + 27 = 16
Ізолюйте змінну, використовуючи відповідний арифметичний метод, щоб скасувати константу на стороні змінної. Наприклад, якщо
х + 27 = 16
за допомогою віднімання:
х = 16 - 27 = -11
Розв’язування квадратних рівнянь
Встановіть рівняння, рівне нулю. Наприклад, для рівняння
2x ^ 2 - x = 1
відніміть 1 з обох сторін, щоб встановити рівняння на нуль
2x ^ 2 - x - 1 = 0
Розрахуйте або заповніть квадрат квадратичного, що легше. Наприклад, для рівняння
2x ^ 2 - x - 1 = 0
найпростіше врахувати так:
2x ^ 2 - x - 1 = 0 \ text {стає} (2x + 1) (x - 1) = 0
Розв’яжіть рівняння змінної. Наприклад, якщо
(2x + 1) (x - 1) = 0
тоді рівняння дорівнює нулю, коли:
2x + 1 = 0
Це натякає на це
2x = -1 \ text {, так} x = - \ frac {1} {2}
або коли
\ text {коли} x - 1 = 0 \ text {, ви отримуєте} x = 1
Це рішення квадратного рівняння.
Розв'язувач рівнянь для дробів
Враховуйте кожен знаменник. Наприклад,
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {x ^ 2 - 9}
можна врахувати, щоб стати:
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
Помножте кожну сторону рівняння на найменше спільне кратне знаменників. Найменшим загальним кратним є вираз, на який кожен знаменник може поділити рівномірно. Для рівняння
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
найменшим загальним кратним є (х − 3)(х+ 3). Так,
(x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} \ bigg) = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
стає
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
Скасувати умови та вирішити длях. Наприклад, скасування умов для рівняння
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
дає:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Веде до
2x = 10 \ text {і} x = 5
Робота з експоненціальними рівняннями
Виділіть експоненційний вираз, скасувавши будь-які постійні доданки. Наприклад,
100 × (14 ^ x) + 6 = 10
стає
\ begin {вирівняно} 100 × (14 ^ x) + 6 - 6 & = 10 - 6 \\ & = 4 \ end {вирівнено}
Скасуйте коефіцієнт змінної, розділивши обидві сторони на коефіцієнт. Наприклад,
100 × (14 ^ x) = 4
стає
\ frac {100 × (14 ^ x)} {100} = \ frac {4} {100} \\ \, \\ 14 ^ x = 0,04
Візьмемо натуральний журнал рівняння, щоб знизити показник ступеня, що містить змінну. Наприклад,
14 ^ х = 0,04
можна записати як (використовуючи деякі властивості логарифмів):
\ ln (14 ^ x) = \ ln (0,04) \\ x × \ ln (14) = \ ln \ bigg (\ frac {1} {25} \ bigg) \\ x × \ ln (14) = \ ln (1) - \ ln (25) \\ x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25)
Розв’яжіть рівняння змінної. Наприклад,
x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25) \ text {стає} x = \ frac {- \ ln (25)} {\ ln (14)} = -1,22
Рішення для логарифмічних рівнянь
Виділіть натуральний журнал змінної. Наприклад, рівняння
2 \ ln (3x) = 4 \ text {стає} \ ln (3x) = \ frac {4} {2} = 2
Перетворіть рівняння журналу в експоненціальне рівняння, піднявши журнал до показника відповідної бази. Наприклад,
\ ln (3x) = 2
стає:
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
Розв’яжіть рівняння змінної. Наприклад,
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
стає
\ frac {3x} {3} = \ frac {e ^ 2} {3} \ text {so} x = 2,46
