У математиці послідовність - це будь-який рядок чисел, розташованих у порядку збільшення чи зменшення. Послідовність стає геометричною послідовністю, коли ви можете отримати кожне число, помноживши попереднє число на загальний множник. Наприклад, серії 1, 2, 4, 8, 16... - геометрична послідовність із загальним множником 2. Якщо помножити будь-яке число з серії на 2, ви отримаєте наступне число. Навпаки, послідовність 2, 3, 5, 8, 14, 22... не є геометричним, оскільки між числами немає спільного множника. Геометрична послідовність може мати дробовий загальний множник, у цьому випадку кожне послідовне число менше, ніж попереднє. 1, 1/2, 1/4, 1/8... є прикладом. Його загальним коефіцієнтом є 1/2.
Той факт, що геометрична послідовність має спільний коефіцієнт, дозволяє зробити дві речі. Перший - обчислити будь-який випадковий елемент у послідовності (який математики люблять називати "пth "елемент", а другий - знайти суму геометричної послідовності аж допго елемента. Коли ви підсумовуєте послідовність, ставлячи знак плюса між кожною парою доданків, ви перетворюєте послідовність у геометричний ряд.
Пошук n-го елемента в геометричній серії
Взагалі, ви можете представити будь-який геометричний ряд таким чином:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
де "а"це перший термін у серії та"р"є загальним фактором. Щоб перевірити це, розглянемо серію, в якійа= 1 ір= 2. Ви отримуєте 1 + 2 + 4 + 8 + 16... це працює!
Встановивши це, тепер можна отримати формулу для n-го члена в послідовності (хп).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Показником єп- 1, а непщоб дозволити перший доданок у послідовності записувати якар0, що дорівнює "а."
Перевірте це, обчисливши 4-й доданок у серії прикладів.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Обчислення суми геометричної послідовності
Якщо ви хочете підсумувати розбіжну послідовність, яка є такою, що має загальний раціон більше 1 або менше -1, ви можете зробити це лише до кінцевої кількості доданків. Однак можна розрахувати суму нескінченної збіжної послідовності, яка є такою із загальним співвідношенням між 1 і - 1.
Щоб розробити формулу геометричної суми, почніть з розгляду того, що ви робите. Ви шукаєте загальну кількість наступних серій доповнень:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Кожен термін у серії єарk, іkпереходить від 0 доп− 1. Формула суми ряду використовує знак великої сигми - ∑ - що означає додати всі терміни з (k= 0) до (k = п − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Щоб перевірити це, розглянемо суму перших 4 доданків геометричного ряду, що починаються з 1 і мають спільний множник 2. У наведеній вище формуліа = 1, р= 2 іп= 4. Підключивши ці значення, ви отримаєте:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Це легко перевірити, додавши цифри в серії самостійно. Насправді, коли вам потрібна сума геометричного ряду, як правило, простіше скласти числа самостійно, коли є лише кілька доданків. Якщо ряд має велику кількість доданків, набагато простіше використовувати формулу геометричної суми.