Іноді потрібно знайти ненульовий вектор, який, помножений на квадратну матрицю, поверне нам кратну вектору. Цей ненульовий вектор називається "власним вектором". Власні вектори представляють інтерес не лише для математиків, а й для інших у таких професіях, як фізика та техніка. Щоб їх обчислити, вам потрібно буде зрозуміти матричну алгебру та детермінанти.
Вивчіть і зрозумійте визначення поняття "власний вектор". Він знайдений для n x n квадратної матриці A, а також a скалярне власне значення, що називається "лямбда". Лямбда представлена грецькою буквою, але тут ми її скоротимо до Л. Якщо існує ненульовий вектор x, де Ax = Lx, цей вектор x називається "власним значенням А."
Знайдіть власні значення матриці, використовуючи характеристичне рівняння det (A - LI) = 0. "Det" означає детермінанту, а "I" - матриця ідентичності.
Обчисліть власний вектор для кожного власного значення, знайшовши власний простір E (L), який є нульовим простором характеристичного рівняння. Ненульові вектори E (L) - власні вектори A. Вони знаходяться шляхом підключення власних векторів назад до характерної матриці та пошуку основи для A - LI = 0.
Обчисліть власні значення з використанням характеристичного рівняння. Det (A - LI) дорівнює (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, що є характерним поліномом. Вирішення цього алгебраїчно дає нам L1 = 4 і L2 = 2, які є власними значеннями нашої матриці.
Знайдіть власний вектор для L = 4, обчисливши нульовий простір. Зробіть це, помістивши L1 = 4 у характеристичну матрицю та знайшовши основу для A - 4I = 0. Вирішуючи це, знаходимо x - y = 0, або x = y. Це має лише одне незалежне рішення, оскільки вони рівні, наприклад x = y = 1. Отже, v1 = (1,1) - власний вектор, що охоплює власний простір L1 = 4.
Повторіть крок 6, щоб знайти власний вектор для L2 = 2. Знаходимо x + y = 0, або x = --y. Це також має одне незалежне рішення, скажімо, x = --1 та y = 1. Отже, v2 = (--1,1) - власний вектор, що охоплює власний простір L2 = 2.