Тригонометрія може бути абсолютно абстрактною темою. Таємні терміни, такі як "гріх" і "cos", здається, просто нічим не відповідають, і насправді важко зрозуміти їх як поняття. Одиничне коло суттєво допомагає в цьому, пропонуючи пряме пояснення того, які цифри ви отримуєте, коли берете синус, косинус або тангенс кута. Для будь-яких студентів природознавства та математики розуміння одиничного кола може реально закріпити ваше розуміння тригонометрії та способу використання функцій.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Одиничне коло має радіус одиниці. Уявіть собіxyсистема координат, що починається в центрі цього кола. Точкові кути вимірюються звідких= 1 ір= 0, з правого боку кола. Кути збільшуються при русі проти годинникової стрілки.
Використовуючи цей фреймворк, тардляр-координувати іхдлях-координата точки на колі:
гріхθ = р
cosθ = х
А отже:
загарθ = р / х
Що таке одиничне коло?
«Одиничне» коло має радіус 1. Іншими словами, відстань від центру кола до будь-якої частини ребра завжди дорівнює 1. Одиниця виміру насправді не має значення, оскільки найголовніше в одиниці кола полягає в тому, що вона робить багато рівнянь та обчислень набагато простішими.
Це також служить корисною основою для розгляду визначень кутів. Уявіть, що центр кола сидить у центрі системи координат із символомх-ось, що працює горизонтально та aр-вісь, що працює вертикально. Коло перетинаєх-ось нах = 1, р= 0. Вчені та математики визначають кут від цієї точки, що рухається в напрямку проти годинникової стрілки. Тож сутьх =1, р= 0 на колі знаходиться під кутом 0 °.
Визначення гріха і косу з одиничним колом
Звичайні визначення гріха, cos та tan, дані студентам, стосуються трикутників. Вони заявляють:
\ sin θ = \ frac {\ text {навпроти}} {\ text {гіпотенуза}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {сусідня}} {\ text {гіпотенуза}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
"Протилежність" відноситься до довжини сторони трикутника, протилежної куту, "сусідня" відноситься до довжина сторони поряд з кутом, а "гіпотенуза" відноситься до довжини діагональної сторони трикутник.
Уявіть, як створити трикутник так, щоб гіпотенуза завжди була радіусом одиничного кола, з одним кутом на краю кола, а одним у центрі. Це означає, що гіпотенуза = 1 у рівняннях вище, тому перші дві стають:
\ sin θ = \ frac {\ text {навпроти}} {1} = \ text {навпроти} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {суміжний}} {1} = \ text {сусідній} \\
Якщо зробити кут, про який йде мова, таким, що знаходиться в центрі кола, протилежним буде простор-координат і сусідній це простох-координата точки на колі, яка торкається трикутника. Іншими словами, гріх повертаєр-координата на одиничному колі (з використанням координат, які починаються в центрі) для заданого кута і cos повертаєх-координат. Ось чому cos (0) = 1 і sin (0) = 0, оскільки в цей момент це координати. Подібним чином, cos (90) = 0 та sin (90) = 1, оскільки це точка зх= 0 ір= 1. У вигляді рівняння:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Виходячи з цього, негативні кути також легко зрозуміти. Негативні кути (виміряні за годинниковою стрілкою від початкової точки) мають однаковіхкоордината як відповідний позитивний кут, отже:
\ cos -θ = \ cos θ
Однакр-координатні перемикачі, що означає, що
\ sin -θ = - \ sin θ
Визначення загару з одиничним колом
Визначення загару, наведене вище:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Але, маючи одиничне визначення кіл гріха і cos, ви можете бачити, що це еквівалентно:
\ tan θ = \ frac {\ text {навпроти}} {\ text {сусідній}}
Або, думаючи з точки зору координат:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Це пояснює, чому загар не визначений для 90 ° або -270 ° та 270 ° або -90 ° (дех= 0), оскільки не можна ділити на нуль.
Графік тригонометричних функцій
Графікувати гріх або cos стає простіше, коли ви думаєте про одиничне коло.х-координата плавно змінюється при русі по колу, починаючи з 1 і зменшуючись до мінімуму -1 на 180 °, а потім збільшуючи таким же чином. Функція гріха робить те саме, але вона збільшується до максимального значення 1 при 90 ° спочатку, перш ніж слідувати тій самій схемі. Кажуть, що ці дві функції перебувають на 90 ° поза фазою між собою.
Графічний загар вимагає розділеннярвідх, і тому є більш складним для графіку, а також має точки, де він не визначений.