У геометрії восьмикутник - це багатокутник з вісьмома сторонами. Правильний восьмикутник має вісім рівних сторін і рівні кути. Правильний восьмикутник зазвичай розпізнається за знаками зупинки. Октаедр - це восьмигранний багатогранник. Правильний октаедр має вісім трикутників з ребрами однакової довжини. Це фактично дві квадратні піраміди, що збираються біля своїх баз.
Формула площі восьмикутника
Формула площі правильного восьмикутника зі сторонами довжини "a" дорівнює 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, де "sqrt" позначає квадратний корінь.
Виведення
Восьмикутник можна розглядати як 4 прямокутники, один квадрат у центрі та чотири рівнобедрених трикутника в кутах.
Квадрат має площу a ^ 2.
Трикутники мають сторони a, a / sqrt (2) та a / sqrt (2), згідно теореми Піфагора. Отже, кожен має площу a ^ 2/4.
Прямокутники мають площу a * a / sqrt (2).
Сума цих 9 областей дорівнює 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Формула об’єму октаедра
Формула об'єму правильного октаедра сторін "а" має форму ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Виведення
Площа чотиригранної піраміди - це площа основи * висота / 3. Таким чином, площа правильного восьмикутника дорівнює 2 * базовій * висоті / 3.
База = a ^ 2 тривіально.
Виберіть дві сусідні вершини, скажіть "F" і "C." "O" знаходиться в центрі. FOC - рівнобедрений прямокутний трикутник з основою "a", тому OC і OF мають довжину a / sqrt (2) за теоремою Піфагора. Отже висота = a / sqrt (2).
Отже, об’єм правильного октаедра 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Область поверхні
Поверхня правильного октаедра - це площа рівностороннього трикутника сторони "а", помноженої на 8 граней.
Щоб використати теорему Піфагора, опустіть лінію від вершини до основи. Це створює два прямокутних трикутника, з гіпотенузою довжини "а" і однієї сторони довжиною "а / 2". Отже, третя сторона має бути sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Отже, площа рівностороннього трикутника дорівнює висоті * основа / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
Маючи 8 сторін, площа поверхні правильного октаедра становить 2 * sqrt (3) * a ^ 2.