В математиці зворотним числом є число, яке, помножене на вихідне число, дає 1. Наприклад, зворотна для змінної x дорівнює 1 /х, тому що
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
У цьому прикладі 1 /хє взаємною ідентичністюх, і навпаки. У тригонометрії будь-який з кутів, що не дорівнюють 90 градусам, у прямокутному трикутнику можна визначити співвідношеннями, що називаються синусом, косинусом і тангенсом. Застосовуючи концепцію взаємних тотожностей, математики визначають ще три співвідношення. Їх імена косекант, сексант і котангенс. Косекант - це взаємна тотожність синуса, секунда - косинусу, а котангенс - тангенсу.
Як визначити взаємні ідентичності
Розглянемо кутθ, що є одним із двох кутів, що не мають 90 градусів у прямокутному трикутнику. Якщо довжина сторони трикутника, протилежного куту, дорівнює "b, "довжина сторони, прилеглої до кута і протилежної гіпотенузам, дорівнює"а"а довжина гіпотенузи становить"р, "ми можемо визначити три основні тригонометричні співвідношення через ці довжини.
\ text {синус} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {косинус} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {тангенс} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Взаємна ідентичність гріхаθмає дорівнювати 1 / sin θ, оскільки це число, яке помножується на sinθ, виробляє 1. Те саме стосується і cosθі загарθ. Математики дають цим взаємним знакам відповідно назви косекант, секанс та котангенс. За визначенням:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {котангенс} θ = \ койка θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Ви можете визначити ці взаємні тотожності через довжини сторін прямокутного трикутника наступним чином:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Наступні співвідношення справедливі для будь-якого кутаθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ койка θ = 1
Дві інші тригонометричні тотожності
Якщо ви знаєте синус і косинус кута, ви можете отримати тангенс. Це правда, тому що
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {і} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, так} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Оскільки це визначення tan θ, випливає наступна тотожність, відома як коефіцієнт тотожності:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ койка θ
Тотожність Піфагора випливає з того, що для будь-якого прямокутного трикутника зі сторонамиаіbі гіпотенузар, справедливо наступне:а2 + b2 = р2. Переставляючи терміни та визначаючи співвідношення в термінах синуса та косинуса, ви отримуєте такий вираз:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Дві інші важливі взаємозв'язки випливають, коли ви вставляєте взаємні тотожності для синуса та косинуса у наведеному вище виразі:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ