Як знайти найбільший спільний множник двох чисел

Знайти найбільший спільний множник (GCF) двох чисел корисно в багатьох ситуаціях з математики, але особливо, коли мова йде про спрощення дробів. Якщо ви боретеся з цим або знаходите спільні знаменники, вивчення двох методів пошуку спільних факторів допоможе вам досягти того, що ви збираєтесь зробити. По-перше, однак, це гарна ідея дізнатись про основи факторів; тоді можна розглянути два підходи для пошуку спільних факторів. Нарешті, ви можете подивитися, як застосувати свої знання для спрощення дробу.

Фактори - це числа, які ви множите разом, щоб отримати інше число. Наприклад, 2 і 3 є коефіцієнтами 6, оскільки 2 × 3 = 6. Аналогічним чином, 3 і 3 є коефіцієнтами 9, оскільки 3 × 3 = 9. Як ви вже знали, прості числа - це числа, які не мають інших факторів, крім них самих і 1. Отже, 3 є простим числом, оскільки єдиними двома цілими числами (цілими числами), які можуть множитися разом, щоб дати 3 як відповідь, є 3 і 1. Точно так само 7 є простим числом, а так само 13.

Через це часто буває корисно розбити цілу низку на "основні фактори". Це означає знайти всі множники простого числа іншого числа. Це в основному розбиває число на основні "будівельні блоки", що є корисним кроком назустріч знаходження найбільшого спільного множника двох чисел, а також безцінне, коли справа стосується спрощення квадрата коріння.

Найпростіший спосіб знайти найбільший спільний множник двох чисел - це просто перерахувати всі множники кожного числа та знайти найбільше число, яке вони обидва мають. Уявіть, що ви хочете знайти найвищий спільний коефіцієнт 45 і 60. Спочатку подивіться на різні числа, які ви можете помножити разом, щоб отримати 45.

Найпростіший спосіб розпочати з двох, як ви знаєте, будуть працювати, навіть для простого числа. У цьому випадку ми знаємо 1 × 45 = 45, тому знаємо, що 1 і 45 є коефіцієнтами 45. Це перший і останній коефіцієнти 45, тому ви можете просто заповнити звідти. Далі з’ясуйте, чи є фактор 2. Це легко, оскільки будь-яке парне число буде ділитися на 2, а будь-яке непарне - ні. Отже, ми знаємо, що 2 - це не коефіцієнт 45. А як щодо 3? Ви повинні бути в змозі помітити, що 3 - це коефіцієнт 45, оскільки 3 × 15 = 45 (ви завжди можете спиратися на те, що ви знайте, щоб це розробити, наприклад, ви будете знати, що 3 × 12 = 36, і додавання трійки до цього вас веде 45).

Далі, 4 коефіцієнт 45? Ні - ти знаєш 11 × 4 = 44, тож цього не може бути! Далі, як щодо 5? Це ще одне просте, оскільки будь-яке число, що закінчується на 0 або 5, ділиться на 5. І за допомогою цього ви можете легко помітити, що 5 × 9 = 45. Але 6 не годиться, оскільки 7 × 6 = 42 та 8 × 6 = 48. З цього ви також можете бачити, що 7 і 8 не є коефіцієнтами 45. Ми вже знаємо, що 9 є, і легко зрозуміти, що 10 і 11 не є факторами. Продовжуйте цей процес, і ви побачите, що 15 - це фактор, але нічого іншого немає.

Отже, коефіцієнти 45 такі: 1, 3, 5, 9, 15 і 45.

Для 60 ви проходите точно такий самий процес. Цього разу число парне (отже, ви знаєте, що 2 є коефіцієнтом) і ділиться на 10 (отже, 5 і 10 є обома факторами), що полегшує ситуацію. Повторно пройшовши процес, ви повинні побачити, що коефіцієнти 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60.

Порівняння двох списків показує, що 15 - це найбільший спільний коефіцієнт 45 і 60. Цей метод може зайняти багато часу, але він простий і завжди буде працювати. Ви також можете почати з будь-якого високого загального коефіцієнта, який ви можете відразу помітити, а потім просто шукати вищі коефіцієнти кожного числа.

Другий метод пошуку коефіцієнта корисної дії для двох чисел - використання простих множників. Процес первинного розкладання на множники дещо простіший і більш структурований, ніж пошук усіх факторів. Давайте пройдемо процес для 42 та 63.

Процес розкладання простих чисел в основному передбачає розбиття числа, поки у вас не залишаться лише прості числа. Найкраще починати з найменшого простого числа (два) і працювати звідти. Отже, для 42 легко зрозуміти, що 2 × 21 = 42. Тоді працюйте з 21: Чи є фактор 2? Ні. Є 3? Так! 3 × 7 = 21, а 3 і 7 - це прості числа. Це означає, що основними множниками 42 є 2, 3 і 7. Перший "брейк" використовував 2, щоб дістатися до 21, а другий розбив це на 3 і 7. Ви можете перевірити це, помноживши всі свої коефіцієнти разом і перевіривши, що отримаєте оригінальне число: 2 × 3 × 7 = 42.

Для 63 2 не є фактором, а 3 - тому, що 3 × 21 = 63. Знову ж таки, 21 розбивається на 3 і 7 - обидва простих - отже, ви знаєте основні фактори! Перевірка показує, що 3 × 3 × 7 = 63, якщо потрібно.

Ви знаходите найвищий спільний множник, дивлячись на те, які прості множники спільні між собою. У цьому випадку 42 має 2, 3 і 7, а 63 має 3, 3 і 7. Їх спільно 3 і 7. Щоб знайти найвищий спільний множник, помножте всі загальні прості множники разом. У цьому випадку 3 × 7 = 21, отже 21 є найбільшим загальним коефіцієнтом 42 і 63.

Попередній приклад можна вирішити швидше і цим способом. Оскільки 45 ділиться на три (3 × 15 = 45), а 15 також ділиться на три (3 × 5 = 15), простими множниками 45 є 3, 3 і 5. Для 60 він ділиться на два (2 × 30 = 60), 30 також ділиться на два (2 × 15 = 30), і тоді у вас залишається 15, які, як ми знаємо, мають три та п’ять основних множників залишаючи 2, 2, 3 і 5. Порівнюючи два списки, три та п’ять є загальними простими факторами, тому найбільшим спільним фактором є 3 × 5 = 15.

У тому випадку, якщо є три або більше загальних простих множників, ви помножуєте їх усі однаково, щоб знайти найбільший спільний множник.

Якщо вам представлено дріб, такий як 32/96, він може робити будь-які обчислення, які виникають після нього, дуже складними, якщо ви не знайдете способу спрощення дробу. Знаходження найнижчого загального множника 32 і 96 покаже вам число, яке потрібно поділити на два, щоб отримати простіший дріб. В цьому випадку:

Для 96, процес дає:

Повинно бути зрозуміло, що 2⁵ = 32 - найвищий загальний коефіцієнт. Ділення обох частин дробу на 32 дає:

Пошук спільних знаменників - подібний процес. Уявіть, що вам довелося додати дроби 15/45 та 40/60. З першого прикладу ми знаємо, що 15 - це найвищий загальний коефіцієнт 45 і 60, тому ми можемо відразу ж виразити їх як 5/15 та 10/15. Оскільки 3 × 5 = 15, а обидва чисельники також діляться на п’ять, ми можемо розділити обидві частини обох дробів на п’ять, щоб отримати 1/3 та 2/3. Тепер їх набагато легше додати і побачити