Об’єм тривимірного твердого тіла - це об’єм тривимірного простору, який він займає. Обсяг деяких простих фігур можна обчислити безпосередньо, коли відома площа поверхні однієї з її сторін. Об'єм багатьох фігур також можна розрахувати за площею їх поверхні. Обсяг деяких більш складних фігур можна обчислити за допомогою інтегрального числення, якщо функція, що описує площу її поверхні, інтегрується.
Нехай \ "S \" є твердим тілом з двома паралельними поверхнями, які називаються \ "основами. \" Усі перерізи твердого тіла, паралельні основам, повинні мати ту саму площу, що і основи. Нехай \ "b \" - площа цих перерізів, а \ "h \" - відстань, що розділяє дві площини, в яких лежать основи.
Обчисліть об'єм \ "S \" як V = bh. Призми та циліндри є простими прикладами цього виду твердих речовин, але він також включає більш складні форми. Зауважте, що об’єм цих твердих речовин можна легко розрахувати, незалежно від того, наскільки складною є форма основи, якщо виконуються умови на кроці 1 і відома площа поверхні основи.
Нехай \ "P \" - тверде тіло, утворене з'єднанням основи з точкою, яка називається вершиною. Нехай відстань між вершиною і основою дорівнює \ "h, \", а відстань між основою і поперечним перерізом, паралельним основі \ "z. \" Крім того, нехай площа основи дорівнює \ "b \", а площа перерізу - \ "c. \" Для всіх таких перерізів, (h - z) / h = c / b.
Обчисліть обсяг \ "P \" на кроці 3 як V = bh / 3. Піраміди та конуси є простими прикладами цього типу твердого тіла, але він також включає більш складні форми. Основа може бути будь-якої форми, якщо відома площа її поверхні та виконуються умови на кроці 3.
Обчисліть об’єм кулі за площею її поверхні. Площа поверхні кулі дорівнює A = 4? R ^ 2. Інтегруючи цю функцію щодо \ "r, \", ми отримуємо об'єм кулі як V = 4/3? R ^ 3.