Квадратні корені часто зустрічаються в математичних та природничих завданнях, і будь-якому студенту для вирішення цих питань потрібно підібрати основи квадратних коренів. Квадратні корені запитують, «яке число, помножене на себе, дає такий результат», і як таке їх опрацювання вимагає від вас думати про числа дещо інакше. Тим не менш, ви можете легко зрозуміти правила квадратних коренів і відповісти на будь-які запитання, пов’язані з ними, незалежно від того, чи потребують вони безпосереднього обчислення чи просто спрощення.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Квадратний корінь запитує, яке число, помножене на себе, дає результат після символу √. Отже √9 = 3 і √16 = 4. Технічно кожен корінь має позитивну та негативну відповіді, але в більшості випадків позитивною є та, яка вас зацікавить.
Ви можете розкласти квадратні корені так само, як звичайні числа, так що √ab = √а √b, або √6 = √2√3.
Що таке квадратний корінь?
Квадратні корені - це протилежність «квадратування» числа або його множення само по собі. Наприклад, три в квадраті - це дев'ять (3
2 = 9), отже квадратний корінь з дев'яти - це три. У символах це\ sqrt {9} = 3
Символ "√" говорить вам взяти квадратний корінь із числа, і ви можете знайти це на більшості калькуляторів.
Пам'ятайте, що кожне число насправді маєдваквадратні корені. Три, помножені на три, дорівнює дев'яти, але від'ємне три, помножене на від'ємне три, також дорівнює дев'яти, так
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ текст {і} \ sqrt {9} = ± 3
із знаком ±, що стоїть у позиції “плюс чи мінус”. У багатьох випадках можна ігнорувати від’ємні квадратні корені чисел, але іноді важливо пам’ятати, що кожне число має два корені.
Можливо, вас попросять взяти “кубиковий корінь” або “четвертий корінь” числа. Корінь куба - це число, яке при множенні на себе двічі дорівнює вихідному числу. Четвертий корінь - це число, яке помножене на себе тричі, дорівнює вихідному числу. Як і квадратні корені, вони якраз протилежні прийняттю числа. Отже, 33 = 27, а це означає, що кубовий корінь з 27 дорівнює 3, або
\ sqrt [3] {27} = 3
Символ “∛” представляє корінь куба числа, що йде після нього. Коріння іноді також виражаються як дробові сили, отже
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {і} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Спрощення квадратних коренів
Одним із найскладніших завдань, яке вам, можливо, доведеться виконувати з квадратними коренями, є спрощення великих квадратних коренів, але для вирішення цих питань вам просто потрібно дотримуватися деяких простих правил. Ви можете розкласти квадратні корені так само, як і на звичайні числа. Отже, наприклад 6 = 2 × 3, так
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Спрощення більших коренів означає крок за кроком розкладання на множники та запам'ятовування визначення квадратного кореня. Наприклад, №132 - це великий корінь, і може бути важко зрозуміти, що робити. Однак ви можете легко побачити, що він ділиться на 2, тож можете писати
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Однак 66 також ділиться на 2, тому ви можете написати:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
У цьому випадку квадратний корінь із числа, помножений на інший квадратний корінь, просто дає вихідне число (через визначення квадратного кореня), тому
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Коротше кажучи, ви можете спростити квадратні корені, використовуючи наступні правила
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Що таке квадратний корінь…
Використовуючи наведені вище визначення та правила, ви можете знайти квадратні корені більшості чисел. Ось кілька прикладів для розгляду.
Квадратний корінь з 8
Це неможливо знайти безпосередньо, оскільки це не квадратний корінь із цілого числа. Однак використання правил спрощення дає:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Квадратний корінь з 4
Для цього використовується простий квадратний корінь з 4, який дорівнює √4 = 2. Проблему можна точно вирішити за допомогою калькулятора, і √8 = 2,8284 ...
Квадратний корінь з 12
Використовуючи той самий підхід, спробуйте опрацювати квадратний корінь з 12. Розділіть корінь на фактори, а потім перевірте, чи зможете ви знову розділити його на фактори. Спробуйте це як практичну проблему, а потім подивіться на рішення нижче:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Знову ж таки, цей спрощений вираз може бути використаний у задачах за потреби, або обчислений точно за допомогою калькулятора. Калькулятор це показує
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Квадратний корінь з 20
Квадратний корінь з 20 можна знайти таким же чином:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Квадратний корінь із 32
Нарешті, вирішіть квадратний корінь із 32, використовуючи той самий підхід:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Тут зауважте, що ми вже розрахували квадратний корінь із 8 як 2√2, і що √4 = 2, отже:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Квадратний корінь від’ємного числа
Хоча визначення квадратного кореня означає, що від'ємні числа не повинні мати квадратного кореня (оскільки будь-яке число множиться сам по собі дає позитивне число в результаті), математики стикалися з ними як частиною задач з алгебри і розробляли a рішення. “Уявне” числоiвживається в значенні "квадратний корінь із мінус 1", а будь-які інші від'ємні корені виражаються кратнимиi. Так
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Ці проблеми є більш складними, але ви можете навчитися їх вирішувати на основі визначенняiі стандартні правила для коренів.
Приклади запитань та відповідей
Перевірте своє розуміння квадратних коренів, спростивши за потреби, а потім обчисливши такі корені:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Спробуйте їх вирішити, перш ніж переглядати відповіді нижче:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27} } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196