Mutlak değer eşitsizliklerini çözmek, mutlak değer denklemlerini çözmeye çok benzer, ancak akılda tutulması gereken birkaç ekstra ayrıntı var. Mutlak değer denklemlerini çözerken zaten rahat olmanıza yardımcı olur, ancak bunları birlikte öğreniyorsanız sorun değil!
Mutlak Değer Eşitsizliğinin Tanımı
Her şeyden önce, birmutlak değer eşitsizliğimutlak değer ifadesini içeren bir eşitsizliktir. Örneğin,
| 5 + x | - 10 > 6
bir mutlak değer eşitsizliğidir çünkü bir eşitsizlik işaretine sahiptir, > ve bir mutlak değer ifadesi, | 5 +x |.
Mutlak Değer Eşitsizliği Nasıl Çözülür?
mutlak değer eşitsizliğini çözme adımlarımutlak değer denklemini çözme adımlarına çok benzer:
Aşama 1:Mutlak değer ifadesini eşitsizliğin bir tarafında izole edin.
Adım 2:Eşitsizliğin pozitif "versiyonunu" çözün.
Aşama 3:Eşitsizliğin diğer tarafındaki miktarı -1 ile çarparak ve eşitsizlik işaretini çevirerek eşitsizliğin negatif "versiyonunu" çözün.
Bu, bir kerede anlaşılması gereken çok şey var, işte size adımlarda yol gösterecek bir örnek.
için eşitsizliği çözünx:
| 5 + 5x | - 3 > 2
Bunu yapmak için | 5 + 5x| eşitsizliğin sol tarafında kendi başına. Tek yapmanız gereken her iki tarafa 3 eklemek:
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Şimdi eşitsizliğin çözmemiz gereken iki "versiyonu" var: pozitif "versiyon" ve negatif "versiyon".
Bu adım için, her şeyin göründüğü gibi olduğunu varsayacağız: 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
Bu basit bir eşitsizliktir; sadece çözmek zorundasınxher zaman oldugu gibi. Her iki taraftan da 5 çıkarın, ardından her iki tarafı da 5'e bölün.
\begin{hizalanmış} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(her iki taraftan beş çıkarın)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(her iki tarafı beşe bölün)} \\ &x > 0 \end{hizalı}
Fena değil! Yani eşitsizliğimize olası bir çözüm şudur:x> 0. Şimdi, işin içinde mutlak değerler olduğuna göre, başka bir olasılığı düşünmenin zamanı geldi.
Bu sonraki biti anlamak için mutlak değerin ne anlama geldiğini hatırlamaya yardımcı olur.Mutlak değerbir sayının sıfıra olan uzaklığını ölçer. Mesafe her zaman pozitiftir, yani 9 sıfırdan dokuz birim uzaktadır, ama -9 da sıfırdan dokuz birim uzaktadır.
Yani | 9 | = 9, ancak | -9 | = 9 da.
Şimdi yukarıdaki soruna dönelim. Yukarıdaki çalışma şunu gösterdi | 5 + 5x| > 5; başka bir deyişle, "bir şeyin" mutlak değeri beşten büyüktür. Şimdi, beşten büyük herhangi bir pozitif sayı, sıfırdan beşten daha uzakta olacak. Yani ilk seçenek "bir şey"di, 5 + 5x, 5'ten büyüktür.
Yani:
5 + 5x > 5
Adım 2'de yukarıda ele alınan senaryo budur.
Şimdi biraz daha düşünün. Sıfırdan beş birim uzakta başka ne var? Şey, eksi beş. Ve eksi beşten sayı doğrusunda daha ötedeki herhangi bir şey sıfırdan daha da uzak olacaktır. Yani "bir şeyimiz", sıfırdan eksi beşten daha uzakta olan bir negatif sayı olabilir. Bu, daha büyük bir sayı olacağı anlamına gelir, ancak teknik olarakdaha azeksi beş çünkü sayı doğrusunda eksi yönde hareket ediyor.
Yani bizim "bir şeyimiz", 5 + 5x, -5'ten küçük olabilir.
5 + 5x < -5
Bunu cebirsel olarak yapmanın hızlı yolu, eşitsizliğin diğer tarafındaki miktarı, 5, eksi bir ile çarpmak ve ardından eşitsizlik işaretini çevirmektir:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
Sonra her zamanki gibi çözün.
\begin{hizalanmış} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(her iki taraftan 5 çıkar)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{hizalı}
Yani eşitsizliğin iki olası çözümü:x> 0 veyax< −2. Eşitsizliğin hala geçerli olduğundan emin olmak için birkaç olası çözümü ekleyerek kendinizi kontrol edin.
Çözümü Olmayan Mutlak Değer Eşitsizlikleri
olacağı bir senaryo varmutlak değer eşitsizliğine çözüm yok. Mutlak değerler her zaman pozitif olduğundan, negatif sayılara eşit veya onlardan küçük olamazlar.
Yani |x| < -2 vardırçözüm yokçünkü mutlak değer ifadesinin sonucu pozitif olmak zorundadır.
Aralık Gösterimi
Çözümü ana örneğimize yazmak içinaralık gösterimi, çözümün sayı doğrusunda nasıl göründüğünü düşünün. Bizim çözümümüzx> 0 veyax< −2. Bir sayı doğrusunda, bu 0'da bir açık nokta, bir doğru pozitif sonsuza uzanıyor ve -2'de bir açık nokta ve bir doğru negatif sonsuza uzanıyor. Bu çözümler birbirine doğru değil, birbirinden uzağa işaret eder, bu nedenle her bir parçayı ayrı ayrı alın.
Sayı doğrusunda x > 0 için sıfırda açık bir nokta ve sonra sonsuza uzanan bir doğru vardır. Aralık gösteriminde, açık bir nokta parantez ( ) ile gösterilir ve kapalı bir nokta veya ≥ veya ≤ olan eşitsizlikler parantez [ ] kullanır. İçin böylecex> 0, (0, ∞) yazın.
Diğer yarısı,x< -2, sayı doğrusunda −2'de açık bir nokta ve ardından −∞'ye kadar uzanan bir oktur. Aralık gösteriminde, bu (−∞, −2)'dir.
Aralık gösteriminde "Veya" birleşim işaretidir, ∪.
Yani aralık gösterimindeki çözüm
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)