Tüm matematik öğrencileri ve birçok fen öğrencisi, çalışmaları sırasında bir aşamada polinomlarla karşılaşırlar, ancak şükürler olsun ki, temelleri öğrendikten sonra bunlarla başa çıkmak kolaydır. Polinom ifadelerle yapmanız gereken temel işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme ve bölme karmaşık olsa da, çoğu zaman temel bilgileri kolaylaştırmak.
Polinomlar: Tanım ve Örnekler
Polinom üsler ve muhtemelen sabitler ile bir değişken (veya birden fazla) içeren bir veya daha fazla terim içeren bir cebirsel ifadeyi tanımlar. Bir değişkene göre bölmeyi içeremezler, negatif veya kesirli üsleri olamazlar ve sınırlı sayıda terimleri olmalıdırlar.
Bu örnek bir polinomu göstermektedir:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
Bu da bir başkasını gösteriyor:
xy^2 - 3 x + y
Dereceye göre de dahil olmak üzere polinomları sınıflandırmanın birçok yolu vardır (en yüksek güç terimindeki üslerin toplamı, ör. ilk örnek) ve içerdikleri tek terimli (bir terim), iki terimli (iki terim) ve üç terimli (üç terimli) gibi terimlerin sayısına göre terimler).
Polinomları Toplama ve Çıkarma
Polinomların toplanması ve çıkarılması, “like” terimlerinin birleştirilmesine bağlıdır. Benzer bir terim, diğeriyle aynı değişkenlere ve üslere sahip bir terimdir, ancak çarpıldıkları sayı (katsayı) farklı olabilir. Örneğin,x2 ve 4x 2 terimler gibidir çünkü aynı değişkene ve üslere sahiptirler ve 2xy 4 ve 6xy 4 terimler de gibidir. Ancak,x2, x3, x2y2 vey2 terimler gibi değildir, çünkü her biri farklı değişken ve üs kombinasyonları içerir.
Benzer terimleri diğer cebirsel terimlerle yaptığınız gibi birleştirerek polinomları ekleyin. Örneğin, soruna bakın:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
Aşağıdakileri elde etmek için benzer terimleri toplayın:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
Ardından katsayıları basitçe toplayıp tek bir terimde birleştirerek değerlendirin:
10 x^3 + 5 x + y
ile hiçbir şey yapamayacağınızı unutmayın.yçünkü benzeri bir terim yok.
Çıkarma aynı şekilde çalışır:
(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) - (2 x^4 + 2 y^2 + y)
İlk olarak, sağdaki parantezdeki tüm terimlerin soldaki parantezdekilerden çıkarıldığına dikkat edin, bu nedenle şöyle yazın:
4 x^4 + 3 y^2 + 6 y - 2 x^4 - 2 y^2- y
Benzer terimleri birleştirin ve aşağıdakileri elde etmek için değerlendirin:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
Bunun gibi bir sorun için:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
Eksi işaretinin sağ parantez içindeki tüm ifadeye uygulandığına dikkat edin, bu nedenle 3'ten önceki iki negatif işaretx2 bir ek işareti ol:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
Sonra eskisi gibi hesaplayın.
Polinom İfadeleri Çarpma
Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak polinom ifadeleri çarpın. Kısacası, birinci polinomdaki her terimi, ikincideki her terimle çarpın. Şu basit örneğe bakın:
4 x × (2 x^2 + y)
Bunu dağılma özelliğini kullanarak çözersiniz, yani:
\begin{hizalı} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{hizalı}
Daha karmaşık sorunları aynı şekilde ele alın:
\begin{hizalı} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15x^3 + 6x^2 \end{hizalanmış}
Bu problemler daha büyük gruplamalar için karmaşıklaşabilir, ancak temel süreç hala aynıdır.
Polinom İfadelerini Bölme
Polinom ifadelerini bölmek daha uzun sürer ancak bunu adım adım çözebilirsiniz. Şu ifadeye bakın:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
İlk olarak, bölen solda ve bölen sağda olacak şekilde ifadeyi uzun bir bölme gibi yazın:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
Temettüdeki ilk terimi, bölendeki ilk terime bölün ve sonucu bölmenin üstündeki satıra koyun. Bu durumda,x2 ÷ x = x, yani:
\begin{hizalı} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{hizalı}
Bu sonucu tüm bölenle çarpın, bu durumda, (x + 2) × x = x2 + 2 x. Bu sonucu bölümün altına koyun:
\begin{hizalanmış} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{hizalı}
Yeni satırdaki sonucu, doğrudan üstündeki terimlerden çıkarın (teknik olarak işareti değiştirdiğinizi unutmayın, bu nedenle olumsuz bir sonuç olsaydı, bunun yerine eklerdiniz) ve bunu altındaki bir satıra koyun. Son terimi de orijinal temettüden aşağı doğru hareket ettirin.
\begin{hizalanmış} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{hizalı}
Şimdi, alt satırda bölen ve yeni polinom ile işlemi tekrarlayın. Yani bölenin ilk terimini bölün (x) temettünün ilk döneminde (-5x) ve bunu yukarıya koyun:
\begin{hizalı} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{hizalı}
Bu sonucu çarpın (-5x ÷ x= −5) orijinal bölene göre (yani (x + 2) × −5 = −5 x-10) ve sonucu yeni bir alt satıra koyun:
\begin{hizalanmış} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \end{hizalanmış}
Ardından alt satırı bir sonraki satırdan çıkarın (bu durumda işareti değiştirin ve ekleyin) ve sonucu yeni bir alt satıra koyun:
\begin{hizalanmış} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{hizalı}
Artık altta bir sıra sıfır olduğu için işlem tamamlanmıştır. Kalan sıfır olmayan terimler olsaydı, işlemi tekrarlardınız. Sonuç en üst satırda, yani:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
Bu bölme ve diğerleri, eğer yapabilirseniz daha basit bir şekilde çözülebilir. polinomu çarpanlarına ayır temettüde.