Karekök Denklemi Nasıl Çözülür

Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında orijinal sayıyı veren bir değerdir. Örneğin, 0'ın karekökü 0, 100'ün karekökü 10 ve 50'nin karekökü 7.071'dir. Bazen, kendisi "tam kare" olan bir sayının karekökünü bulabilir veya basitçe hatırlayabilirsiniz; bu, bir tamsayı ile çarpımının çarpımıdır; Çalışmalarınızda ilerledikçe, bu sayıların (1, 4, 9, 25, 36) zihinsel bir listesini geliştirmeniz olasıdır.. .).

Karekök içeren problemler mühendislikte, matematikte ve modern dünyanın hemen hemen her alanında vazgeçilmezdir. Karekök denklem hesaplayıcılarını çevrimiçi olarak kolayca bulabilmenize rağmen (bir örnek için Kaynaklara bakın), karekök denklemlerini çözmek önemli bir cebirde beceri, çünkü radikalleri kullanmaya aşina olmanızı ve karekök alanı dışında bir dizi problem türüyle çalışmanızı sağlar. başlı başına.

İki negatif sayının çarpılmasının pozitif bir sayı vermesi gerçeği, karekök dünyasında önemlidir, çünkü bunun anlamı şudur: pozitif sayıların aslında iki karekökleri vardır (örneğin, yalnızca birincisi sezgisel olsa bile, 16'nın karekökleri 4 ve -4'tür). Benzer şekilde, negatif sayıların gerçek karekökleri yoktur, çünkü kendisiyle çarpıldığında negatif bir değer alan gerçek bir sayı yoktur. Bu sunumda, pozitif bir sayının negatif karekökü yok sayılacaktır, böylece "361'in karekökü", "-19 ve 19" yerine "19" olarak alınabilir.

Ayrıca, kullanışlı bir hesap makinesi olmadığında bir karekökün değerini tahmin etmeye çalışırken, kareleri ve karekökleri içeren fonksiyonların doğrusal olmadığını anlamak önemlidir. Daha sonra grafiklerle ilgili bölümde bununla ilgili daha fazlasını göreceksiniz, ancak kaba bir örnek olarak, 100'ün karekökünün 10 ve 0'ın karekökünün 0 olduğunu zaten gözlemlediniz. İlk bakışta bu, 50'nin (0 ile 100 arasında yarı yarıya) karekökünün 5 (0 ile 10 arasında yarı yarıya) olması gerektiğini tahmin etmenize yol açabilir. Ancak 50'nin karekökünün 7.071 olduğunu da öğrendiniz.

Son olarak, iki sayıyı çarpmanın bir sayı verdiği fikrini içselleştirmiş olabilirsiniz. kendisinden daha büyük, sayıların kareköklerinin her zaman orijinalinden daha küçük olduğu anlamına gelir. numara. Olay bu değil! 0 ile 1 arasındaki sayıların da karekökleri vardır ve her durumda karekök orijinal sayıdan büyüktür. Bu en kolay kesirler kullanılarak gösterilir. Örneğin, 16/25 veya 0.64, hem payda hem de paydada tam bir kareye sahiptir. Bu, kesrin karekökünün, 4/5 olan üst ve alt bileşenlerinin karekökü olduğu anlamına gelir. Bu 0,80'e eşittir, 0,64'ten büyük bir sayı.

"Kare köküx" genellikle bir kök işareti veya yalnızca bir kök (√) olarak adlandırılan kullanılarak yazılır. Böylece herhangi biri içinx​:

karekökünü temsil eder. Bunu ters çevirerek, bir sayının karesix2 üssü kullanılarak yazılır (x​²). Üsler, kelime işlem ve ilgili uygulamalarda üst simgeler alır ve ayrıca güçler olarak da adlandırılır. Radikal işaretleri talep üzerine üretmek her zaman kolay olmadığından, "kare kökü" yazmanın başka bir yolux" bir üs kullanmaktır:

Bu da genel bir planın parçasıdır:

"yükseltmek" anlamına gelirxgücüney, sonra 'z' köküdür."x​^1/2 yani "yükseltmekxbasitçe olan ilk gücextekrar ve sonra 2 kökünü veya karekökünü alın." Bunu genişleterek,x​^(5/3) "yükseltmek" anlamına gelirx5'in kuvvetine, ardından sonucun üçüncü kökünü (veya küp kökünü) bulun."

Radikaller, karekök olan 2'den farklı kökleri temsil etmek için kullanılabilir. Bu, radikalin sol üst köşesine bir üst simge ekleyerek yapılır.

o zaman, ile aynı sayıyı temsil ederx​^(5/3) önceki paragraftan yapar.

Çoğu karekök irrasyonel sayılardır. Bu, yalnızca güzel, düzgün tamsayılar (örneğin 1, 2, 3, 4) olmadıkları anlamına gelir.. .), ancak aynı zamanda yuvarlanmak zorunda kalmadan sona eren düzgün bir ondalık sayı olarak da ifade edilemezler. Bir rasyonel sayı kesir olarak ifade edilebilir. Yani 2.75 bir tam sayı olmasa da, 11/4 kesriyle aynı şey olduğu için rasyonel bir sayıdır. Daha önce size 50'nin karekökünün 7.071 olduğu söylendi, ancak bu aslında sonsuz sayıda ondalık basamaktan yuvarlanıyor. √50'nin tam değeri 5√2'dir ve bunun nasıl belirlendiğini yakında göreceksiniz.

Kareleri ve karekökleri içeren denklemlerin doğrusal olmadığını zaten gördünüz. Bunu hatırlamanın kolay bir yolu, bu denklemlerin çözümlerinin grafiklerinin doğru olmamasıdır. Bu mantıklı, çünkü belirtildiği gibi 0'ın karesi 0 ve 10'un karesi 100 ise ancak kare 5, 50 değil, sadece bir sayının karesini almaktan elde edilen grafik, doğru yönde eğri olmalıdır. değerler.

Bu durum grafiğin

Kaynaklardaki hesap makinesini ziyaret ederek ve parametreleri değiştirerek kendiniz de görebileceğiniz gibi. Doğru (0,0) noktasından geçer ve y, 0'ın altına inmez, bunu beklemeniz gerekir çünkü bunu bilirsiniz.x​² asla olumsuz değildir. Grafiğin etrafında simetrik olduğunu da görebilirsiniz.y-ekseni, belirli bir sayının her pozitif kareköküne eşit büyüklükte bir negatif karekökü eşlik ettiği için de mantıklıdır. Bu nedenle, 0 hariç herygrafiğindeki değery​ = ​x​² iki ile ilişkilidirx-değerler.

Temel karekök problemlerini elle çözmenin bir yolu, problemin içinde "gizli" olan mükemmel kareleri aramaktır. İlk olarak, karelerin ve kareköklerin birkaç hayati özelliğinin farkında olmak önemlidir. Bunlardan biri, tıpkı √ gibix​² basitçe eşittirx(çünkü kök ve üs birbirini götürür):

Diğer bir deyişle, başka bir sayının kökten çarpılmasının altında bir tam kareniz varsa, onu "çekebilir" ve kalanın katsayısı olarak kullanabilirsiniz. Örneğin, 50'nin kareköküne dönmek

Bazen kesir olarak ifade edilen, ancak yine de irrasyonel bir sayı olan karekök içeren bir sayı elde edebilirsiniz, çünkü payda, pay veya her ikisi de bir kök içerir. Bu gibi durumlarda, paydayı rasyonelleştirmeniz istenebilir. Örneğin, sayı

hem payda hem de paydada bir köke sahiptir. Ama "45"i inceledikten sonra, onu 9 ve 5'in çarpımı olarak tanıyabilirsiniz, bu da demek oluyor ki,

Bu nedenle, kesir yazılabilir

Radikaller birbirini yok eder ve geriye 6/3 = 2 kalır.