İkinci dereceden denklemler, Ax^2 + Bx + C = 0 biçiminde yazılabilen formüllerdir. Bazen, ikinci dereceden bir denklem, çarpanlara ayırarak veya denklemi ayrı terimlerin bir ürünü olarak ifade ederek basitleştirilebilir. Bu, denklemin çözülmesini kolaylaştırabilir. Faktörleri belirlemek bazen zor olabilir, ancak süreci kolaylaştırabilecek püf noktaları vardır.
Denklemi En Büyük Ortak Faktöre Göre Azalt
Denklemin her terimini bölebilecek bir sayı ve/veya değişken olup olmadığını belirlemek için ikinci dereceden denklemi inceleyin. Örneğin, 2x^2 + 10x + 8 = 0 denklemini ele alalım. Denklemin her terimine eşit olarak bölünebilen en büyük sayı 2'dir, dolayısıyla 2 en büyük ortak faktördür (GCF).
Denklemdeki her terimi GCF'ye bölün ve tüm denklemi GCF ile çarpın. Örnek 2x^2 + 10x + 8 = 0 denkleminde bu, 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2) ile sonuçlanır.
Her terimde bölme işlemini tamamlayarak ifadeyi sadeleştirin. Son denklemde kesir olmamalıdır. Örnekte bu, 2(x^2 + 5x + 4) = 0 ile sonuçlanır.
Karelerin Farkına Bakın (Eğer B = 0 ise)
İkinci dereceden denklemi Ax^2 + 0x – C = 0 biçiminde olup olmadığını görmek için inceleyin, burada A = y^2 ve C = z^2. Durum buysa, ikinci dereceden denklem iki karenin farkını ifade ediyor. Örneğin, 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 ve C = 9 = 3^2 denkleminde, yani y = 2 ve z = 3.
Denklemi (yx + z)(yx – z) = 0 biçiminde çarpanlara ayırın. Örnek denklemde y = 2 ve z = 3; bu nedenle, çarpanlara ayrılmış ikinci dereceden denklem (2x + 3)(2x – 3) = 0'dır. Bu her zaman karelerin farkı olan ikinci dereceden bir denklemin çarpanlara ayrılmış hali olacaktır.
Mükemmel Kareleri Arayın
Kusursuz bir kare olup olmadığını görmek için ikinci dereceden denklemi inceleyin. İkinci dereceden denklem bir tam kare ise, 4x^2 + 12x + 9 = 0 denklemi gibi y^2 + 2yz + z^2 biçiminde yazılabilir ve (2x)^2 olarak yeniden yazılabilir. + 2(2x)(3) + (3)^2. Bu durumda, y = 2x ve z = 3.
2yz teriminin pozitif olup olmadığını kontrol edin. Terim pozitifse, tam kare ikinci dereceden denklemin çarpanları her zaman (y + z)(y + z) olur. Örneğin, yukarıdaki denklemde 12x pozitiftir, bu nedenle çarpanlar (2x + 3)(2x + 3) = 0'dır.
2yz teriminin negatif olup olmadığını kontrol edin. Terim negatif ise, çarpanlar her zaman (y – z)(y – z) olur. Örneğin, yukarıdaki denklemde 12x yerine -12x terimi olsaydı, çarpanlar (2x – 3)(2x – 3) = 0 olurdu.
Ters FOIL Çarpma Yöntemi (Eğer A = 1)
(vx + w)(yx + z) = 0 yazarak ikinci dereceden denklemin çarpanlara ayrılmış biçimini kurun. FOIL çarpma kurallarını hatırlayın (İlk, Dış, İç, Son). İkinci dereceden denklemin ilk terimi bir Ax^2 olduğundan, denklemin her iki faktörü de bir x içermelidir.
İkinci dereceden denklemde A'nın tüm faktörlerini göz önünde bulundurarak v ve y'yi bulun. A = 1 ise, hem v hem de y her zaman 1 olacaktır. Örnek denklemde x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, yani v ve y çarpanlara ayrılmış denklemde çözülerek (1x + w)(1x + z) = 0 elde edilebilir.
w ve z'nin pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu belirleyin. Aşağıdaki kurallar geçerlidir: C = pozitif ve B = pozitif; her iki faktörün de + işareti vardır C = pozitif ve B = negatif; her iki faktör de – işaretine sahiptir C = negatif ve B = pozitif; en büyük değere sahip faktör + işaretine sahiptir C = negatif ve B = negatif; en büyük değere sahip faktör bir - işaretine sahiptir 2. Adımdaki örnek denklemde, B = -9 ve C = +8, yani denklemin her iki faktörü de - işaretlerine sahip olacaktır ve çarpanlara ayrılmış denklem (1x – w)(1x – z) şeklinde yazılabilir. = 0.
w ve z değerlerini bulmak için C'nin tüm faktörlerinin bir listesini yapın. Yukarıdaki örnekte, C = 8, yani çarpanlar 1 ve 8, 2 ve 4, -1 ve -8 ve -2 ve -4'tür. Faktörlerin toplamı, örnek denklemde -9 olan B'ye kadar olmalıdır, bu nedenle w = -1 ve z = -8 (veya tam tersi) ve denklemimiz tam olarak (1x – 1)(1x – 8) = olarak çarpanlarına ayrılmıştır. 0.
Kutu Yöntemi (A Değilse = 1)
Yukarıda listelenen En Büyük Ortak Faktör yöntemini kullanarak denklemi en basit biçimine indirin. Örneğin, 9x^2 + 27x – 90 = 0 denkleminde, GCF 9'dur, dolayısıyla denklem 9(x^2 + 3x – 10) olarak sadeleşir.
Bir kutu çizin ve iki satır ve iki sütun içeren bir tabloya bölün. Basitleştirilmiş denklemin Ax^2'sini 1. satır, 1. sütun ve C'yi 2. satır 2. sütuna koyun.
A ile C'yi çarpın ve ürünün tüm faktörlerini bulun. Yukarıdaki örnekte, A = 1 ve C = -10, yani çarpım (1)(-10) = -10'dur. -10'un çarpanları -1 ve 10, -2 ve 5, 1 ve -10 ve 2 ve -5'tir.
AC ürününün hangi faktörlerinin toplamının B olduğunu belirleyin. Örnekte, B = 3. 3'ün toplamı -10'un çarpanları -2 ve 5'tir.
Belirlenen faktörlerin her birini x ile çarpın. Yukarıdaki örnekte, bu -2x ve 5x ile sonuçlanacaktır. Bu iki yeni terimi tablonun aşağıdaki gibi görünmesi için grafikteki iki boş alana koyun:
x^2 | 5x
-2x | -10
Kutunun her satırı ve sütunu için GCF'yi bulun. Örnekte, üst sıra için CGF x ve alt sıra için -2'dir. İlk sütun için GCF x'tir ve ikinci sütun için 5'tir.
w ve v için grafik satırlarında tanımlanan faktörleri ve y ve z için grafik sütunlarında tanımlanan faktörleri kullanarak çarpanlara ayrılmış denklemi (w + v) (y + z) formunda yazın. Denklem 1. Adımda basitleştirilmişse, denklemin GCF'sini çarpanlara ayrılmış ifadeye dahil etmeyi unutmayın. Örnek durumunda, çarpanlara ayrılmış denklem 9(x – 2)(x + 5) = 0 olacaktır.
İpuçları
Açıklanan yöntemlerden herhangi birine başlamadan önce denklemin standart ikinci dereceden formda olduğundan emin olun.
Bir tam kareyi veya kareler farkını belirlemek her zaman kolay değildir. Çarpanlara ayırmaya çalıştığınız ikinci dereceden denklemin bu formlardan birinde olduğunu hemen görebilirseniz, bu çok yardımcı olabilir. Ancak, diğer yöntemler daha hızlı olabileceğinden, bunu anlamaya çalışmak için çok fazla zaman harcamayın.
FOLYO yöntemini kullanarak faktörleri çarparak her zaman çalışmanızı kontrol edin. Faktörler her zaman orijinal ikinci dereceden denkleme geri çarpmalıdır.