Gerçek Sayılar nedir?

Gerçek sayılar, negatif sonsuzdan sıfıra ve pozitif sonsuza uzanan bir sayı doğrusu üzerindeki tüm sayılardır. Gerçek sayılar kümesinin bu yapısı keyfi değil, sayma için kullanılan doğal sayılardan bir evrimin sonucudur. Doğal sayılar sistemi çeşitli tutarsızlıklara sahiptir ve hesaplamalar daha karmaşık hale geldikçe, sayı sistemi sınırlamalarını ele almak için genişledi. Gerçek sayılarla, hesaplamalar tutarlı sonuçlar verir ve sayı sisteminin daha ilkel versiyonlarında olduğu gibi birkaç istisna veya sınırlama vardır.

TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)

Gerçek sayılar kümesi, bir sayı doğrusundaki tüm sayılardan oluşur. Buna doğal sayılar, tam sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar dahildir. Hayali sayılar veya karmaşık sayılar içermez.

Kapatma, bir sayı kümesinin özelliğidir, yani kümenin üyesi olan sayılar üzerinde izin verilen hesaplamalar yapılırsa, yanıtlar da kümenin üyesi olan sayılar olacaktır. Setin kapalı olduğu söyleniyor.

Doğal sayılar sayma sayılarıdır, 1, 2, 3... ve doğal sayılar kümesi kapalı değildir. Ticarette doğal sayılar kullanıldığından, hemen iki sorun ortaya çıktı. Doğal sayılar gerçek nesneleri, örneğin inekleri sayarken, bir çiftçinin beş ineği varsa ve beş ineği satarsa, sonuç için doğal sayı yoktu. Erken sayı sistemleri, bu sorunu çözmek için çok hızlı bir şekilde sıfır için bir terim geliştirdi. Sonuç, doğal sayılar artı sıfır olan tam sayılar sistemiydi.

İkinci problem de çıkarma ile ilgiliydi. Sayılar inek gibi gerçek nesneleri saydığı sürece, çiftçi sahip olduğundan daha fazla inek satamazdı. Ancak sayılar soyut hale geldiğinde, daha büyük sayıları küçük olanlardan çıkarmak, tam sayılar sisteminin dışında cevaplar verdi. Sonuç olarak, tam sayılar artı negatif doğal sayılar olan tam sayılar tanıtıldı. Sayı sistemi şimdi tam bir sayı satırı içeriyordu, ancak yalnızca tam sayılarla.

Kapalı bir sayı sistemindeki hesaplamalar, aşağıdakiler için sayı sistemi içinden cevaplar vermelidir. toplama ve çarpma gibi işlemlerin yanı sıra ters işlemleri, çıkarma ve bölünme. Tam sayılar sistemi toplama, çıkarma ve çarpmaya kapalıdır, bölmeye kapalıdır. Bir tamsayı başka bir tamsayıya bölünürse, sonuç her zaman bir tamsayı değildir.

Küçük bir tamsayıyı daha büyük bir tamsayıya bölmek bir kesir verir. Bu tür kesirler sayı sistemine rasyonel sayılar olarak eklendi. Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak ifade edilebilen herhangi bir sayı olarak tanımlanır. Herhangi bir keyfi ondalık sayı, rasyonel bir sayı olarak ifade edilebilir. Örneğin 2.864, 2864/1000 ve 0.89632, 89632/100.000'dir. Sayı doğrusu artık tamamlanmış gibiydi.

Sayı doğrusu üzerinde tamsayıların kesri olarak ifade edilemeyen sayılar vardır. Biri, dik açılı bir üçgenin kenarlarının hipotenüse oranıdır. Bir dik üçgenin iki kenarı 1 ve 1 ise, hipotenüs 2'nin karekökü olur. İkinin karekökü, tekrar etmeyen sonsuz bir ondalık sayıdır. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve rasyonel olmayan tüm gerçek sayıları içerirler. Bu tanımla, tüm reel sayıların sayı doğrusu tamamlanmış olur, çünkü rasyonel olmayan diğer herhangi bir gerçek sayı irrasyonel tanımına dahil edilir.

Gerçek sayı doğrusunun negatiften pozitif sonsuza uzandığı söylense de, sonsuzluğun kendisi bir sayı değildir. gerçek sayı değil, onu herhangi bir sayı sisteminden daha büyük bir miktar olarak tanımlayan bir sayı sistemi kavramı. numara. Matematiksel olarak sonsuz, x sıfıra ulaştığında 1/x'in cevabıdır, ancak sıfıra bölme tanımlanmamıştır. Sonsuzluk bir sayı olsaydı, çelişkilere yol açardı çünkü sonsuzluk aritmetik yasalarına uymaz. Örneğin, sonsuz artı 1 hala sonsuzdur.

Gerçek sayılar kümesi tanımlı olmayan sıfıra bölme dışında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine kapalıdır. Küme en az bir başka işlem için kapatılmamış.

Gerçek sayılar kümesindeki çarpma kuralları, bir negatif ile bir a'nın çarpımını belirtir. pozitif sayı negatif bir sayı verirken pozitif veya negatif sayıların çarpımı pozitif verir Yanıtlar. Bu, bir sayıyı kendi başına çarpmanın özel durumunun hem pozitif hem de negatif sayılar için pozitif bir sayı verdiği anlamına gelir. Bu özel durumun tersi, hem pozitif hem de negatif bir cevap veren pozitif bir sayının kareköküdür. Negatif bir sayının karekökü için gerçek sayılar kümesinde cevap yoktur.

Hayali sayılar kümesi kavramı, gerçek sayılardaki negatif karekök sorununu ele alır. Eksi 1'in karekökü i olarak tanımlanır ve tüm sanal sayılar i'nin katlarıdır. Sayı teorisini tamamlamak için, karmaşık sayılar kümesi, tüm gerçek ve tüm sanal sayıları içeren olarak tanımlanır. Gerçek sayılar yatay bir sayı doğrusu üzerinde görselleştirilmeye devam edilebilirken, hayali sayılar dikey bir sayı doğrusudur ve ikisi sıfırda kesişir. Karmaşık sayılar, her biri bir gerçek ve bir sanal bileşene sahip iki sayı doğrusu düzlemindeki noktalardır.