Geometrik bir dizide, her terim bir önceki terimle ortak faktör olarak adlandırılan sabit, sıfır olmayan bir çarpana eşittir. Geometrik diziler sabit sayıda terime sahip olabilir veya sonsuz olabilir. Her iki durumda da, bir geometrik dizinin terimleri hızla çok büyük, çok negatif veya sıfıra çok yakın olabilir. Aritmetik dizilerle karşılaştırıldığında, terimler çok daha hızlı değişir, ancak sonsuz aritmetik diziler düzenli olarak artar veya azalır, geometrik diziler ortak duruma bağlı olarak sıfıra yaklaşabilir. faktör.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin ürünü olduğu ve ortak faktör olarak adlandırılan sıfır olmayan sabit bir çarpanın olduğu sıralı bir sayılar listesidir. Bir geometrik dizinin her terimi, kendisinden önceki ve sonraki terimlerin geometrik ortalamasıdır. +1 ile -1 arasında ortak çarpanı olan sonsuz geometrik diziler terim olarak sıfırın sınırına yaklaşır ortak faktörü +1'den büyük veya -1'den küçük olan diziler artı veya eksiye giderken eklenir sonsuzluk.
Geometrik Diziler Nasıl Çalışır?
Bir geometrik dizi, başlangıç numarası ile tanımlanır.bir, ortak faktörrve terim sayısıS. Bir geometrik dizinin karşılık gelen genel formu:
a, ar, ar^2, ar^3,..., ar^{S-1}
Terim için genel formülnbir geometrik dizinin (yani, bu dizideki herhangi bir terimin) ifadesi:
a_n = ar^{n-1}
Bir terimi önceki terime göre tanımlayan özyinelemeli formül:
a_n = ra_{n-1}
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 ile başlayan 3 numaralı, ortak çarpan 2 ve sekiz terimli bir geometrik dizi örneği. Yukarıda listelenen genel formu kullanarak son terimi hesaplarken, terim şudur:
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
4. terim için genel formülü kullanarak:
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
5. terim için özyinelemeli formülü kullanmak istiyorsanız, terim 4 = 24 ve a5 eşittir:
a_5= 2 × 24 = 48
Geometrik Dizi Özellikleri
Geometrik diziler, geometrik ortalama söz konusu olduğunda özel özelliklere sahiptir. İki sayının geometrik ortalaması, çarpımlarının kare köküdür. Örneğin, 5 ve 20'nin geometrik ortalaması 10'dur çünkü ürün 5 × 20 = 100 ve 100'ün karekökü 10'dur.
Geometrik dizilerde her terim kendisinden önceki ve sonraki terimin geometrik ortalamasıdır. Örneğin, 3, 6, 12 dizisinde... yukarıda, 6, 3 ve 12'nin geometrik ortalamasıdır, 12, 6 ve 24'ün geometrik ortalamasıdır ve 24, 12 ve 48'in geometrik ortalamasıdır.
Geometrik dizilerin diğer özellikleri ortak faktöre bağlıdır. ortak çarpan iser1'den büyükse, sonsuz geometrik diziler pozitif sonsuzluğa yaklaşacaktır. Eğerr0 ile 1 arasında ise diziler sıfıra yaklaşacaktır. Eğerrsıfır ile -1 arasındadır, diziler sıfıra yaklaşacaktır, ancak terimler pozitif ve negatif değerler arasında değişecektir. Eğerr-1'den küçüktür, terimler pozitif ve negatif değerler arasında gidip geldikçe hem pozitif hem de negatif sonsuzluğa doğru eğilim gösterecektir.
Geometrik diziler ve özellikleri, gerçek dünya süreçlerinin bilimsel ve matematiksel modellerinde özellikle yararlıdır. Belirli dizilerin kullanılması, belirli bir süre boyunca sabit bir oranda büyüyen popülasyonların veya faiz getiren yatırımların incelenmesine yardımcı olabilir. Genel ve özyinelemeli formüller, başlangıç noktasına ve ortak faktöre dayalı olarak gelecekte doğru değerleri tahmin etmeyi mümkün kılar.