Polinomları kesirlerle çarpanlarına ayırmanın en iyi yolu, kesirleri daha basit terimlere indirgemekle başlar. Polinomlar, iki veya daha fazla terim içeren cebirsel ifadeleri, daha spesifik olarak, aynı değişkenin farklı ifadelerine sahip birden çok terimin toplamını temsil eder. Polinomları basitleştirmeye yardımcı olan stratejiler, en büyük ortak faktörün çarpanlara ayrılmasını ve ardından denklemin en düşük terimlerine gruplandırılmasını içerir. Aynısı, polinomları kesirlerle çözerken bile geçerlidir.
Kesirler Tanımlı Polinomlar
Kesirli polinomları görmenin üç yolu vardır. İlk yorum, katsayılar için kesirli polinomları ele alır. Cebirde katsayı, bir değişkenden önce bulunan sayı miktarı veya sabiti olarak tanımlanır. Başka bir deyişle, 7_a_ katsayıları, b ve (1/3)c sırasıyla 7, 1 ve (1/3). Bu nedenle, kesir katsayılı polinomlara iki örnek:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ ve } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
"Kesirli polinomların" ikinci yorumu, kesir veya oranda bulunan polinomlara atıfta bulunur. pay polinomunun paydaya bölündüğü bir pay ve payda ile form polinom. Örneğin, bu ikinci yorum şu şekilde gösterilmektedir:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
Bu arada üçüncü yorum, kısmi kesir açılımı olarak da bilinen kısmi kesir ayrıştırması ile ilgilidir. Bazen polinom kesirler karmaşıktır, öyle ki "ayrıştıklarında" veya "parçalandıklarında" daha basit terimler, polinomun toplamları, farklılıkları, ürünleri veya bölümleri olarak sunulurlar. kesirler. Örneklemek gerekirse, karmaşık polinom kesri:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
en basit haliyle, tesadüfen, polinomların çarpanlara ayrılmasını içeren kısmi kesir ayrıştırması yoluyla değerlendirilir:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Faktoring Temelleri – Dağılım Özelliği ve FOIL Yöntemi
Faktörler, çarpıldığında üçüncü bir sayıya eşit olan iki sayıyı temsil eder. Cebirsel denklemlerde, çarpanlara ayırma, belirli bir polinoma ulaşmak için hangi iki miktarın çarpılacağını belirler. Polinomları çarparken dağılım özelliği yoğun bir şekilde takip edilir. Dağılma özelliği, esasen, ürünleri eklemeden önce her bir sayıyı ayrı ayrı çarparak bir toplamı çarpmanıza izin verir. Örneğin, aşağıdaki örnekte dağılma özelliğinin nasıl uygulandığını gözlemleyin:
7(10x + 5) \text{ } 70x + 35'in iki terimlisine ulaşmak için.
Ancak, eğer iki iki terimli birlikte çarpılırsa, FOIL yöntemiyle dağılım özelliğinin genişletilmiş bir versiyonu kullanılır. FOIL, çarpılmakta olan First, Outer, Inner ve Last terimlerinin kısaltmasını temsil eder. Bu nedenle, polinomları çarpanlara ayırma, FOIL yöntemini geriye doğru gerçekleştirmeyi gerektirir. Kesir katsayılarını içeren polinomlarla birlikte yukarıda bahsedilen iki örneği alın. FOIL yönteminin her biri üzerinde geriye doğru uygulanması, aşağıdaki faktörlerin ortaya çıkmasına neden olur.
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
birinci polinom için ve çarpanları
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
ikinci polinom için
Misal:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
Misal:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\büyük)
Polinom Kesirleri Çarpanlara Alırken Atılması Gereken Adımlar
Yukarıdan, polinom kesirler, payda bir polinom bölü payda bir polinom içerir. Bu nedenle polinom kesirlerini değerlendirmek, önce pay polinomunu çarpanlara ayırmayı, ardından payda polinomunu çarpanlara ayırmayı gerektirir. Pay ve payda arasındaki en büyük ortak faktörü veya GCF'yi bulmaya yardımcı olur. Hem payın hem de paydanın GCF'si bir kez bulunduğunda, denklemi ortadan kaldırır ve sonuçta tüm denklemi basitleştirilmiş terimlere indirger. Yukarıdaki orijinal polinom kesir örneğini düşünün
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
GCF sonuçlarını bulmak için pay ve payda polinomlarını çarpanlara ayırma:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
GCF olmak üzere (x + 2).
Hem pay hem de paydadaki GCF, en düşük terimlerle nihai cevabı sağlamak için birbirini iptal eder (x + 5) ÷ (x + 9).
Misal:
\begin{hizalanmış} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\iptal{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{hizalanmış}
Kısmi Kesir Ayrıştırma Yoluyla Denklemlerin Değerlendirilmesi
Faktoringi içeren kısmi kesir ayrıştırması, karmaşık polinom kesir denklemlerini daha basit bir biçimde yeniden yazmanın bir yoludur. Yukarıdaki örneği tekrar gözden geçirmek
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
Paydayı Basitleştirin
Aşağıdakileri elde etmek için paydayı basitleştirin:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
Numaralandırıcıyı Yeniden Düzenleyin
Ardından, payda GCF'lerin paydada bulunmasını sağlayacak şekilde payı yeniden düzenleyin, aşağıdakileri elde edin:
\begin{hizalanmış} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{hizalı}
Soldaki ekleme için, GCF (x - 1), doğru ekleme için GCF (x + 2), görüldüğü gibi payda ve paydada iptal edilir:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\iptal{(x - 1)}}{(x + 2)\iptal{(x - 1)}} + \frac{5\iptal{(x + 2)}}{\iptal{(x + 2)}(x - 1) }
Böylece, GCF'ler iptal edildiğinde, son basitleştirilmiş cevap şudur:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
kısmi kesirli ayrışmanın çözümü olarak.