Trigonometri oldukça soyut bir konu gibi gelebilir. "Günah" ve "çünkü" gibi gizli terimler gerçekte hiçbir şeye karşılık gelmiyor gibi görünüyor ve onları kavram olarak kavramak zor. Birim çember, bir açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını aldığınızda elde ettiğiniz sayıların ne olduğuna dair basit bir açıklama sunarak bu konuda büyük ölçüde yardımcı olur. Herhangi bir fen veya matematik öğrencisi için, birim çemberi anlamak, trigonometri anlayışınızı ve işlevleri nasıl kullanacağınızı gerçekten güçlendirebilir.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Birim çemberin yarıçapı birdir. bir hayal etxybu dairenin merkezinden başlayan koordinat sistemi. Nokta açıları nereden ölçülürx= 1 vey= 0, dairenin sağ tarafında. Saat yönünün tersine hareket ettikçe açılar artar.
Bu çerçeveyi kullanarak veyiçiny-koordinat vexiçinx- çember üzerindeki noktanın koordinatı:
günahθ = y
çünküθ = x
Ve sonuç olarak:
bronzlukθ = y / x
Birim Çember Nedir?
Bir "birim" dairenin yarıçapı 1'dir. Başka bir deyişle, çemberin merkezinden kenarın herhangi bir yerine olan uzaklık her zaman 1'dir. Ölçü birimi gerçekten önemli değil, çünkü birim çemberle ilgili en önemli şey, birçok denklemi ve hesaplamayı çok daha basit hale getirmesidir.
Ayrıca açıların tanımlarına bakmak için yararlı bir temel görevi görür. Dairenin merkezinin bir koordinat sisteminin merkezinde olduğunu hayal edin.x-eksen yatay çalışıyor ve biry-eksen dikey olarak çalışıyor. Çember geçiyorx-eksenx = 1, y= 0. Bilim adamları ve matematikçiler, bu noktadan saat yönünün tersine hareket eden açıyı tanımlarlar. Yani noktax =1, y= 0 daire üzerinde 0°'lik bir açıdadır.
Birim Çember İle Günah ve Cos Tanımları
Öğrencilere verilen sıradan sin, cos ve tan tanımları üçgenlerle ilgilidir. Şunları belirtirler:
\sin θ = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} \\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{bitişik}}{\text{hipotenüs}} \\ \, \\ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
"Karşıt" üçgenin açının karşısındaki kenarının uzunluğunu, "bitişik" ise açının yanındaki kenarın uzunluğu ve “hipotenüs” köşegen kenarının uzunluğunu ifade eder. üçgen.
Hipotenüsün her zaman birim çemberin yarıçapı olduğu, bir köşesi dairenin kenarında ve bir köşesi merkezinde olacak şekilde bir üçgen oluşturduğunuzu hayal edin. Bu, yukarıdaki denklemlerde hipotenüs = 1 olduğu anlamına gelir, bu nedenle ilk ikisi şöyle olur:
\sin θ = \frac{\text{karşı}}{1} = \text{karşıt}\\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{bitişik}}{1} = \text{bitişik} \\
Söz konusu açıyı dairenin merkezindeki açı yaparsanız, tam tersiy-koordinat ve bitişik sadecex- üçgene dokunan daire üzerindeki noktanın koordinatı. Başka bir deyişle, günah,y- belirli bir açı için birim çember üzerindeki koordinat (merkezden başlayan koordinatlar kullanılarak) ve cos değeri döndürürx-koordinat. Bu nedenle cos (0) = 1 ve sin (0) = 0, çünkü bu noktada koordinatlar bunlardır. Aynı şekilde, cos (90) = 0 ve sin (90) = 1, çünkü bu noktax= 0 vey= 1. Denklem formunda:
\sin θ = y \\ \cos θ = x
Negatif açıları da buna dayanarak anlamak kolaydır. Negatif açılar (başlangıç noktasından saat yönünde ölçülür) aynıxkarşılık gelen pozitif açı olarak koordine edin, yani:
\cos -θ = \cos θ
Ancaky-koordinat anahtarları, yani
\sin -θ = -\sin θ
Birim Çemberle Tan Tanımı
Yukarıda verilen tan tanımı:
\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
Ancak sin ve cos'un birim çember tanımlarıyla, bunun şuna eşdeğer olduğunu görebilirsiniz:
\tan θ = \frac{\text{karşı}}{\text{bitişik}}
Veya koordinatlar açısından düşünmek:
\tan θ = \frac{y}{x}
Bu, tan'nin neden 90° veya −270° ve 270° veya −90° için tanımsız olduğunu açıklar (buradax= 0), çünkü sıfıra bölemezsiniz.
Trigonometrik Fonksiyonların Grafiklenmesi
Birim çemberi düşündüğünüzde sin veya cos grafiğini çizmek daha kolay hale gelir.x-koordinat, daire etrafında hareket ettikçe düzgün bir şekilde değişir, 1'den başlar ve 180°'de minimum -1'e düşer ve sonra aynı şekilde artar. Günah işlevi aynı şeyi yapar, ancak aynı modeli izlemeden önce 90°'de maksimum 1 değerine yükselir. İki fonksiyonun birbiriyle 90° faz farkı olduğu söylenir.
Grafik bronzluğu bölmeyi gerektirirytarafındanxve böylece grafiğini çizmek daha karmaşıktır ve tanımsız olduğu noktalar da vardır.