Varyans Nasıl Hesaplanır

Bir grup sayının ortalama veya ortalama değerini hesaplama yeteneği, yaşamın her alanında önemlidir. Sınav puanlarına harf notu veren bir profesörseniz ve geleneksel olarak A'ya B- notu veriyorsanız. paketin ortası puanı, o zaman paketin ortasının nasıl göründüğünü açıkça bilmeniz gerekir sayısal olarak. Ayrıca, birinin A veya A+'yı (tabii ki mükemmel puanların dışında) ne zaman hak ettiğini ve neyin başarısız bir notu hak ettiğini belirleyebilmeniz için puanları aykırı değerler olarak tanımlamanın bir yoluna ihtiyacınız vardır.

Bu ve ilgili nedenlerle, ortalamalarla ilgili tam veriler, puanların genel olarak ortalama puan etrafında ne kadar yakın kümelendiğine ilişkin bilgileri içerir. Bu bilgiler kullanılarak iletilir standart sapma ve buna bağlı olarak, varyans istatistiksel bir örneklemin.

Bir dizi sayı veya veri noktası için kullanılan "ortalama" terimini neredeyse kesin olarak duymuş veya görmüşsünüzdür ve muhtemelen bunun günlük dilde ne anlama geldiğine dair bir fikriniz vardır. Örneğin, Amerikalı bir kadının ortalama boyunun yaklaşık 5' 4" olduğunu okursanız, hemen şu sonuca varırsınız: "ortalama", "tipik" anlamına gelir ve Amerika Birleşik Devletleri'ndeki kadınların yaklaşık yarısının bundan daha uzun olduğu, yaklaşık yarısının ise bundan daha uzun olduğu daha kısa.

Matematiksel olarak, ortalama ve anlamına gelmek tamamen aynı şeydir: Bir kümedeki tüm değerleri toplar ve kümedeki öğe sayısına bölersiniz. Örneğin, 10 soruluk bir testte 25 kişilik bir grup 3 ile 10 arasında puan alıyorsa ve toplamı 196'ya kadar çıkıyorsa, ortalama (ortalama) puan 196/25 veya 7.84'tür.

Medyan, bir kümedeki orta nokta değeridir, değerlerin yarısının üstte ve değerlerin yarısının altında olduğu sayıdır. Genellikle ortalamaya (ortalama) yakındır ancak aynı şey değildir.

Yukarıdakiler gibi 25 puanlık bir kümeye göz atarsanız ve 7, 8 ve 9 değerlerinden başka neredeyse hiçbir şey görmezseniz, ortalamanın 8 civarında olması sezgisel olarak mantıklıdır. Peki ya 6 ve 10 puanlarından başka neredeyse hiçbir şey görmezseniz? Veya 5 puan 0 ve 20 puan 9 veya 10? Bunların hepsi aynı ortalamayı üretebilir.

Varyans, bir veri setindeki noktaların ortalamaya ne kadar yayıldığının bir ölçüsüdür. Varyansı elle hesaplamak için, veri noktalarının her biri ile ortalama arasındaki aritmetik farkı alırsınız, karelerini alın, karelerin toplamını toplayın ve sonucu, veri noktalarının sayısından bir eksik olana bölün. örneklem. Bunun bir örneği daha sonra verilmiştir. Ayrıca Excel gibi programları veya Rapid Tables gibi web sitelerini de kullanabilirsiniz (ek siteler için Kaynaklara bakın).

Varyans σ ile gösterilir², 2 üssü olan bir Yunan "sigma".

standart sapma örneğinin değeri, varyansın kareköküdür. Varyans hesaplanırken karelerin kullanılmasının nedeni, ortalama ile her biri arasındaki bireysel farkları basitçe bir araya getirmenizdir. bireysel veri noktası, toplam her zaman sıfırdır çünkü bu farklılıkların bazıları pozitif ve bazıları negatiftir ve birbirlerini iptal ederler. dışarı. Her terimin karesini almak bu tuzağı ortadan kaldırır.

Size 10 veri noktası verildiğini varsayalım:

4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9

Ortalamayı, varyansı ve standart sapmayı bulun.

İlk olarak, 10 değeri toplayın ve ortalamayı (ortalama) elde etmek için 10'a bölün:

70/10 = 7.0

Varyansı elde etmek için, her bir veri noktası ile ortalama arasındaki farkın karesini alın, bunları toplayın ve sonucu (10 - 1) veya 9'a bölün:

• 7 - 4 = 3; 3² = 9
  
• 7 - 7 = 0; 0² = 0
  
• 7 - 10 = -3; (-3)² = 9.. .

9 + 0 + 9 +... + 4 = 36

σ²= 36/9 = 4.0

Standart sapma σ sadece 4.0 veya 2.0'ın karekökü.