Çoğu kişi hatırlarPisagor teoremibaşlangıç geometrisinden — bu bir klasik. Onun
a^2 + b^2 = c^2
neredebir, bvecbir dik üçgenin kenarlarıdır (chipotenüs). Peki, bu teorem trigonometri için de yeniden yazılabilir!
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Pisagor özdeşlikleri, Pisagor Teoremini trig fonksiyonları cinsinden yazan denklemlerdir.
AnaPisagor kimliklerişunlardır:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
Pisagor kimlikleri bunlara örnektir.trigonometrik kimlikler: trigonometrik fonksiyonları kullanan eşitlikler (denklemler).
Neden fark eder?
Pisagor kimlikleri, karmaşık trigonometrik ifadeleri ve denklemleri basitleştirmek için çok yararlı olabilir. Onları şimdi ezberleyin ve yolda kendinize çok zaman kazandırın!
Trig fonksiyonlarının tanımlarını kullanarak ispat
Trig fonksiyonlarının tanımlarını düşünürseniz, bu kimlikleri kanıtlamak oldukça basittir. Örneğin, bunu kanıtlayalım
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
Sinüs tanımının karşı taraf / hipotenüs olduğunu ve kosinüsün bitişik taraf / hipotenüs olduğunu unutmayın.
Yani
\sin^2 = \frac{\text{karşı}^2} {\text{hipotenüs}^2}
Ve
\cos^2 = \frac{\text{bitişik}^2} {\text{hipotenüs}^2}
Paydalar aynı olduğu için bu ikisini kolayca ekleyebilirsiniz.
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{karşı}^2 + \text{bitişik}^2} {\text{hipotenüs}^2}
Şimdi Pisagor Teoremine bir kez daha bakın. Diyor kibir2 + b2 = c2. unutmayınbirvebkarşıt ve bitişik taraflar için durmak vechipotenüs anlamına gelir.
Her iki tarafı da bölerek denklemi yeniden düzenleyebilirsiniz.c2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Dan beribir2 veb2 zıt ve bitişik taraflardır vec2 hipotenüs ise, yukarıdakine eşdeğer bir ifadeniz var, (karşıt2 + bitişik2) / hipotenüs2. Ve çalışma sayesindebir, b, cve Pisagor Teoremi, şimdi bu ifadenin 1'e eşit olduğunu görebilirsiniz!
Yani
\frac{ \text{karşı}^2 + \text{bitişik}^2} {\text{hipotenüs}^2} = 1
ve bu nedenle:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(Ve düzgün bir şekilde yazmak daha iyidir: günah2(θ) + çünkü2(θ) = 1).
Karşılıklı Kimlikler
Birkaç dakikayı şuraya bakarak geçirelim:karşılıklı kimlikleraynı zamanda. Unutmayın kikarşılıklısayının ("üzerinden") bire bölünmesidir - tersi olarak da bilinir.
Kosekant sinüsün tersi olduğundan:
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
Sinüs tanımını kullanarak kosekant hakkında da düşünebilirsiniz. Örneğin sinüs = karşı taraf / hipotenüs. Bunun tersi, hipotenüs / karşı taraf olan ters çevrilmiş kesir olacaktır.
Benzer şekilde, kosinüsün karşılığı sekanttır, bu nedenle şu şekilde tanımlanır:
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ veya } \frac{\text{hipotenüs}}{\text{bitişik taraf}}
Ve tanjantın karşılığı kotanjanttır, yani
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{bitişik kenar}}{\text{karşı kenar}}
Sekant ve kosekant kullanan Pisagor kimliklerinin ispatları sinüs ve kosinüs için olana çok benzer. Denklemleri "ana" denklemi kullanarak da türetebilirsiniz, sin2(θ) + çünkü2(θ) = 1. her iki tarafı da cos'a böl2(θ) 1 + tan kimliğini almak için2(θ) = saniye2(θ). Her iki tarafı da günaha böl2(θ) kimliğini almak için 1 + karyola2(θ) = csc2(θ).
İyi şanslar ve üç Pisagor kimliğini ezberlediğinizden emin olun!