วิธีการแก้สมการรากที่สอง

รากที่สองของตัวเลขคือค่าที่เมื่อคูณด้วยตัวมันเองแล้วจะได้จำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น สแควร์รูทของ 0 คือ 0, สแควร์รูทของ 100 คือ 10 และสแควร์รูทของ 50 คือ 7.071 บางครั้ง คุณอาจคิดออกหรือจำง่ายๆ ได้ว่าสแควร์รูทของตัวเลขที่ตัวเองเป็น "กำลังสองสมบูรณ์" ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเต็มคูณด้วยตัวมันเอง ในขณะที่คุณก้าวหน้าในการศึกษาของคุณ คุณมีแนวโน้มที่จะสร้างรายการทางจิตของตัวเลขเหล่านี้ (1, 4, 9, 25, 36. .).

ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับรากที่สองเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในด้านวิศวกรรม แคลคูลัส และแทบทุกอาณาจักรของโลกสมัยใหม่ แม้ว่าคุณจะสามารถค้นหาเครื่องคำนวณสมการรากที่สองทางออนไลน์ได้อย่างง่ายดาย (ดูตัวอย่างแหล่งข้อมูล) การแก้สมการรากที่สองเป็นสิ่งสำคัญ ทักษะในพีชคณิตเพราะมันช่วยให้คุณคุ้นเคยกับการใช้อนุมูลและทำงานกับปัญหาหลายประเภทนอกขอบเขตของรากที่สอง ต่อตัว

สี่เหลี่ยมและรากที่สอง: คุณสมบัติพื้นฐาน

ความจริงที่ว่าการคูณจำนวนลบสองจำนวนเข้าด้วยกันทำให้เกิดจำนวนบวกเป็นสิ่งสำคัญในโลกของรากที่สองเพราะมันหมายถึง จำนวนบวกนั้นจริง ๆ แล้วมีสองรากที่สอง (เช่น รากที่สองของ 16 คือ 4 และ −4 แม้ว่าจะมีเพียงตัวเลขแรกเท่านั้นที่เข้าใจได้) ในทำนองเดียวกัน จำนวนลบไม่มีรากที่สองจริง เพราะไม่มีจำนวนจริงที่ใช้ค่าลบเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง ในการนำเสนอนี้ สแควร์รูทเชิงลบของจำนวนบวกจะถูกละเว้น เพื่อให้ "สแควร์รูทของ 361" สามารถใช้เป็น "19" แทนที่จะเป็น " −19 และ 19"

instagram story viewer

นอกจากนี้ เมื่อพยายามประมาณค่าของสแควร์รูทเมื่อไม่มีเครื่องคิดเลขที่มีประโยชน์ สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับสแควร์รูทและสแควร์รูทไม่ใช่เชิงเส้น คุณจะเห็นข้อมูลเพิ่มเติมในส่วนนี้เกี่ยวกับกราฟในภายหลัง แต่จากตัวอย่างคร่าวๆ คุณได้สังเกตแล้วว่าสแควร์รูทของ 100 คือ 10 และสแควร์รูทของ 0 คือ 0 เมื่อเห็นสิ่งนี้อาจทำให้คุณเดาได้ว่าสแควร์รูทสำหรับ 50 (ซึ่งอยู่ครึ่งทางระหว่าง 0 ถึง 100) จะต้องเป็น 5 (ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่าง 0 ถึง 10) แต่คุณได้เรียนรู้แล้วว่าสแควร์รูทของ 50 คือ 7.071

สุดท้าย คุณอาจเข้าใจแนวคิดที่ว่าการคูณตัวเลขสองตัวเข้าด้วยกันจะได้ตัวเลข มากกว่าตัวมันเอง หมายความว่ารากที่สองของตัวเลขจะเล็กกว่าตัวเดิมเสมอ จำนวน. กรณีนี้ไม่ได้! ตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ก็มีรากที่สองเช่นกัน และในทุกกรณี รากที่สองจะมากกว่าจำนวนเดิม ซึ่งแสดงได้ง่ายที่สุดโดยใช้เศษส่วน ตัวอย่างเช่น 16/25 หรือ 0.64 มีกำลังสองสมบูรณ์ในตัวเศษและตัวส่วน ซึ่งหมายความว่ารากที่สองของเศษส่วนคือรากที่สองของส่วนประกอบด้านบนและด้านล่าง ซึ่งก็คือ 4/5 นี่เท่ากับ 0.80 มากกว่า 0.64

คำศัพท์รากที่สอง

“รากที่สองของx" มักจะเขียนโดยใช้สิ่งที่เรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์ หรือเพียงแค่รากศัพท์ (√ ) ดังนั้นสำหรับใด ๆx​:

\sqrt{x}

แทนรากที่สองของมัน พลิกไปรอบ ๆ สี่เหลี่ยมของตัวเลขxเขียนโดยใช้เลขชี้กำลัง 2 (x2). เลขชี้กำลังใช้ตัวยกในการประมวลผลคำและแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้อง และเรียกอีกอย่างว่าพาวเวอร์ เนื่องจากเครื่องหมายกรณฑ์ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะสร้างตามต้องการ อีกวิธีในการเขียน "รากที่สองของx" คือการใช้เลขชี้กำลัง:

x^{1/2}

นี่เป็นส่วนหนึ่งของโครงการทั่วไป:

x^{(y/z)}

หมายถึง "ยกxสู่อำนาจของyแล้วเอา 'z'ต้นตอของมัน'x1/2 จึงหมายถึง "ยกxสู่อำนาจแรกซึ่งก็คือxอีกครั้ง แล้วเอา 2 รูทของมัน หรือ สแควร์รูท” ขยายความนี้x(5/3) หมายถึง "ยกxยกกำลัง 5 แล้วหารากที่สาม (หรือรากที่สาม) ของผลลัพธ์"

รากที่สองสามารถใช้แทนรากที่สองได้ ทำได้โดยเพียงแค่ต่อท้ายตัวยกที่ด้านซ้ายบนของเครื่องหมายกรณฑ์

\sqrt[3]{x^5}

แล้วแทนตัวเลขเดียวกับx(5/3) จากย่อหน้าที่แล้วทำ

รากที่สองส่วนใหญ่เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งหมายความว่าไม่เพียงแต่พวกมันจะไม่ใช่จำนวนเต็มที่สวยงามและเรียบร้อย (เช่น 1, 2, 3, 4). .) แต่ยังไม่สามารถแสดงเป็นตัวเลขทศนิยมเรียบร้อยที่สิ้นสุดโดยไม่ต้องปัดเศษ จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ แม้ว่า 2.75 จะไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่ก็เป็นจำนวนตรรกยะเพราะมันเหมือนกับเศษส่วน 11/4 ก่อนหน้านี้คุณบอกว่าสแควร์รูทของ 50 คือ 7.071 แต่ที่จริงแล้วนี่ปัดเศษจากทศนิยมจำนวนอนันต์ ค่าที่แน่นอนของ √50 คือ 5√2 และคุณจะเห็นว่ามันถูกกำหนดอย่างไรในไม่ช้า

กราฟของฟังก์ชันรากที่สอง

คุณได้เห็นแล้วว่าสมการที่เกี่ยวข้องกับกำลังสองและรากที่สองนั้นไม่เชิงเส้น วิธีง่ายๆ วิธีหนึ่งในการจำสิ่งนี้คือ กราฟของคำตอบของสมการเหล่านี้ไม่ใช่เส้น เรื่องนี้สมเหตุสมผล เพราะถ้าตามที่ระบุไว้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสของ 0 เท่ากับ 0 และกำลังสองของ 10 คือ 100 แต่กำลังสอง ของ 5 ไม่ใช่ 50 กราฟที่เกิดจากการยกกำลังสองตัวเลขต้องโค้งไปทางที่ถูกต้อง ค่า

นี่เป็นกรณีของกราฟของ

y = x^2

อย่างที่คุณเห็นด้วยตัวคุณเองโดยไปที่เครื่องคิดเลขในแหล่งข้อมูลและเปลี่ยนพารามิเตอร์ เส้นที่ลากผ่านจุด (0,0) และ y ไม่ต่ำกว่า 0 ซึ่งคุณควรคาดหวังเพราะคุณรู้ว่าx2 ไม่เคยเป็นลบ คุณจะเห็นว่ากราฟมีความสมมาตรรอบๆy-axis ซึ่งก็สมเหตุสมผลเช่นกันเพราะทุก ๆ รากที่สองที่เป็นบวกของจำนวนที่กำหนดจะมาพร้อมกับสแควร์รูทเชิงลบที่มีขนาดเท่ากัน ดังนั้น ยกเว้น 0 ทุก ๆyค่าบนกราฟของy​ = ​x2 มีความเกี่ยวข้องกับสองx-ค่า

ปัญหารากที่สอง

วิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาสแควร์รูทพื้นฐานด้วยมือคือการมองหากำลังสองที่สมบูรณ์แบบ "ซ่อนอยู่" ภายในปัญหา อันดับแรก สิ่งสำคัญคือต้องทราบคุณสมบัติที่สำคัญบางประการของกำลังสองและรากที่สอง หนึ่งในนั้นก็คือเช่นเดียวกับ√x2 เท่ากับx(เพราะรากและเลขชี้กำลังตัดกัน):

\sqrt{x^2y} = x\sqrt{y}

นั่นคือถ้าคุณมีกำลังสองสมบูรณ์ภายใต้การคูณรากศัพท์คูณอีกจำนวนหนึ่ง คุณสามารถ "ดึงมันออกมา" และใช้มันเป็นสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่เหลืออยู่ ตัวอย่างเช่น กลับไปที่รากที่สองของ 50

\sqrt{50} = \sqrt{(25)(2)} = 5\sqrt{2}

บางครั้ง คุณสามารถปิดท้ายด้วยจำนวนที่เกี่ยวข้องกับรากที่สองซึ่งแสดงเป็นเศษส่วน แต่ยังคงเป็นจำนวนอตรรกยะเนื่องจากตัวส่วน ตัวเศษ หรือทั้งสองแบบมีรากที่สอง ในกรณีดังกล่าว คุณอาจถูกขอให้หาเหตุผลเข้าข้างตัวส่วน ตัวอย่างเช่น ตัวเลข

\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{45}}

มีทั้งตัวเศษและตัวส่วน แต่หลังจากพิจารณา "45" แล้ว คุณอาจจำได้ว่าเป็นผลคูณของ 9 และ 5 ซึ่งหมายความว่า

\sqrt{45} = \sqrt{(9)(5)} = 3\sqrt{5}

จึงสามารถเขียนเศษส่วนได้

\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}

อนุมูลตัดกันออก, และคุณเหลือ 6/3 = 2

Teachs.ru
  • แบ่งปัน
instagram viewer