แนวคิดของค่าลักษณะเฉพาะไม่ชัดเจน แต่มีประโยชน์มากสำหรับนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ทางกายภาพที่ต้องเผชิญกับปัญหาที่น่าสนใจบางอย่าง
เพื่อให้เข้าใจค่าลักษณะเฉพาะ ให้จินตนาการว่ามีฟังก์ชัน (เช่นy = x2 + 6x, หรือy= บันทึก 4x) ที่คุณสามารถดำเนินการบางอย่างได้ โดยที่ผลลัพธ์จะเหมือนกับการคูณฟังก์ชันทั้งหมดด้วยค่าคงที่ ฟังก์ชันดังกล่าวจะเข้าข่ายเป็น anลักษณะเฉพาะและค่าคงที่จะเป็นค่าลักษณะเฉพาะ
- "Eigen" เป็นภาษาเยอรมันแปลว่า "เหมือนกัน"
เพื่อให้เข้าใจค่าลักษณะเฉพาะและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะได้ดีที่สุด และสามารถคำนวณค่าลักษณะเฉพาะได้ด้วยตนเอง คุณต้องมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับเมทริกซ์ เทคนิคทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ใช้เพื่อกำหนดลำดับพันธะของ NO2 (ไนโตรเจนไดออกไซด์) และโมเลกุลอื่นๆ เนื่องจากพฤติกรรมของอิเล็กตรอนในอะตอมถูกกำหนดโดยฟังก์ชันคลื่นที่เข้าเงื่อนไขเป็นลักษณะเฉพาะ
เมทริกซ์คืออะไร?
เมทริกซ์คืออาร์เรย์ของตัวเลขที่เรียงลำดับในแถวและคอลัมน์ ซึ่งอาจมีจำนวนตั้งแต่ 1 ถึงน. ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดเป็นแถวต่อคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 3
\begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{bmatrix}
คุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์เข้าด้วยกันได้หากมีขนาดเท่ากัน (นั่นคือมีจำนวนแถวเท่ากันและมีจำนวนคอลัมน์เท่ากัน) นอกจากนี้ยังสามารถคูณเข้าด้วยกันด้วยกระบวนการแบบเป็นขั้นตอนภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน นอกจากนี้ เมทริกซ์ใดๆ สามารถคูณด้วยเวกเตอร์ ซึ่งก็คือ 1 คูณนหรือน-by-1 เมทริกซ์; ซึ่งรวมถึงเวกเตอร์อื่นๆ
สมการ Eigenvalue คืออะไร?
สมมติว่าคุณมีน-by-นหรือเมทริกซ์ "สี่เหลี่ยม"อา, ไม่ใช่ศูนย์น-by-1 เวกเตอร์วีและสเกลาร์λจึงได้สมการดังต่อไปนี้
\bold{Av} = λ\bold{v}
ค่าใดๆ ของλซึ่งสมการนี้มีคำตอบเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์อา.
อย่าให้จิตใจของคุณปฏิบัติต่อนิพจน์ข้างต้นเป็นผลิตภัณฑ์อาเป็นโอเปอเรเตอร์บนหรือการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์วี, การคำนวณนี้เป็นไปได้เพียงเพราะอาและวีทั้งสองมีนแถว
ทำไมต้องใช้ฟังก์ชัน Eigenvalue?
ที่มานั้นซับซ้อน แต่ในเคมีอะตอม ตัวดำเนินการ "H-bar" ของแฮมิลตันถูกใช้เพื่อแสดงพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของระบบ:
\hat H=−\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)
ใช้สำหรับเขียนรูปของสมการฟังก์ชันคลื่นชโรดิงเงอร์ในกลศาสตร์ควอนตัม:
\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)
ที่นี่อีแสดงถึงค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นไปตามสมการนี้
วิธีหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์
จากสมการ Av = λv จะได้ youอา วี − λวี=0. นี่นำไปสู่:
\bold{A v} − λ(\bold{I v})=0
ที่ไหนผมคือเมทริกซ์เอกลักษณ์แบบ 2 คูณ 2 ที่มีแถวของ [λ0] และ [0λ] นำไปสู่ 1 เมื่อคูณด้วยสเกลาร์λ. ผลลัพธ์นี้ให้ผลลัพธ์:
(\bold{A} - λ\bold{I})\bold{v} = 0
ซึ่งถ้าวีไม่ใช่ศูนย์ จะมีคำตอบก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ของอา− λผม, หรือ |อา − λผม| เป็นศูนย์ หากคุณทำสิ่งเหล่านี้ด้วยมือ มันเกี่ยวข้องกับการแก้สมการกำลังสองและอาจเป็นเรื่องที่น่าเบื่อหน่าย
ในการคูณเมทริกซ์สองตัวเข้าด้วยกัน สำหรับแต่ละจุดในเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ คุณต้องคูณจุดที่สอดคล้องกันเข้าด้วยกัน และเพิ่มลงในผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบแถวและคอลัมน์ที่เหลือในแถวและคอลัมน์ที่จุดใหม่ new เป็นของ
ในการคูณเมทริกซ์ขนาด 2-by-2 สองตัว twoอาและบีรวมกันถ้าแถวแรกของอาคือ [1 3] และคอลัมน์แรกของบีคือ [2 5] ตัวเลขในคอลัมน์แรกและแถวของเมทริกซ์ใหม่จะเป็น [(1 × 2) +(3 × 5)] = 15 และตามลำดับสำหรับอีกสามจุดที่เหลือ
คำนวณค่าลักษณะเฉพาะออนไลน์
ในแหล่งข้อมูล คุณจะพบเครื่องมือคำนวณเมทริกซ์ที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและอื่น ๆ สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดเกือบเท่าที่เป็นไปได้