รากของพหุนามเรียกอีกอย่างว่าศูนย์เพราะรากคือxค่าที่ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ เมื่อพูดถึงการค้นหารากจริงๆ คุณมีเทคนิคหลายอย่าง แฟคตอริ่งเป็นวิธีที่คุณจะใช้บ่อยที่สุด แม้ว่าการทำกราฟจะมีประโยชน์เช่นกัน
กี่ราก?
ตรวจสอบเทอมดีกรีสูงสุดของพหุนาม – นั่นคือ เทอมที่มีเลขชี้กำลังสูงสุด เลขชี้กำลังนั้นคือจำนวนรากที่พหุนามจะมี ดังนั้นหากเลขชี้กำลังสูงสุดในพหุนามของคุณคือ 2 มันจะมีสองราก ถ้าเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 3 ก็จะมีสามราก และอื่นๆ
คำเตือน
-
มีข้อน่าสังเกต: รากของพหุนามอาจเป็นจริงหรือจินตภาพก็ได้ ราก "ของจริง" คือสมาชิกของเซตที่เรียกว่าจำนวนจริง ซึ่ง ณ จุดนี้ในอาชีพคณิตศาสตร์ของคุณคือทุกตัวเลขที่คุณคุ้นเคย การเรียนรู้ตัวเลขจินตภาพเป็นหัวข้อที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ดังนั้นในตอนนี้ ให้จำสามสิ่งต่อไปนี้
- ราก "จินตภาพ" จะครอบตัดเมื่อคุณมีรากที่สองของจำนวนลบ ตัวอย่างเช่น √(-9)
- รากจินตภาพมักจะมาเป็นคู่เสมอ
- รากของพหุนามอาจเป็นจริงหรือจินตภาพก็ได้ ดังนั้นถ้าคุณมีพหุนามดีกรีที่ 5 มันอาจมีรากจริง 5 ราก มันอาจมีรากจริง 3 ราก และรากจินตภาพ 2 ราก เป็นต้น
ค้นหารากด้วยการแยกตัวประกอบ: ตัวอย่างที่ 1
วิธีที่หลากหลายที่สุดในการค้นหารากคือการแยกตัวประกอบพหุนามของคุณให้ได้มากที่สุด แล้วตั้งค่าแต่ละพจน์ให้เท่ากับศูนย์ สิ่งนี้จะสมเหตุสมผลมากขึ้นเมื่อคุณได้ทำตามตัวอย่างบางส่วนแล้ว พิจารณาพหุนามอย่างง่าย
x2 – 4x:การตรวจสอบโดยย่อแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถแยกตัวประกอบxจากพจน์ทั้งสองของพหุนาม ซึ่งให้:
x (x - 4)
ตั้งค่าแต่ละเทอมให้เป็นศูนย์ นั่นหมายถึงการแก้สมการสองสมการ:
x = 0
เป็นเทอมแรกที่ตั้งค่าเป็นศูนย์และ
x - 4 = 0
เป็นเทอมที่สองตั้งค่าเป็นศูนย์
คุณมีคำตอบสำหรับเทอมแรกแล้ว ถ้าx= 0 ดังนั้นนิพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นx= 0 เป็นหนึ่งในรากหรือศูนย์ของพหุนาม
ตอนนี้ พิจารณาเทอมที่สองแล้วแก้หาx. หากคุณบวก 4 ทั้งสองข้าง คุณจะมี:
x - 4 + 4 = 0 + 4
ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเพื่อ:
x = 4
ดังนั้นถ้าx= 4 จากนั้นตัวประกอบที่สองจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพหุนามทั้งหมดก็เท่ากับศูนย์ด้วย
เนื่องจากพหุนามเดิมมีดีกรีที่สอง (เลขชี้กำลังสูงสุดคือสอง) คุณจึงรู้ว่ามีเพียงสองรากที่เป็นไปได้สำหรับพหุนามนี้ คุณพบทั้งคู่แล้ว ดังนั้นสิ่งที่คุณต้องทำคือแสดงรายการ:
x = 0, x = 4
ค้นหารากด้วยการแยกตัวประกอบ: ตัวอย่างที่ 2
นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการหารากด้วยการแยกตัวประกอบ โดยใช้พีชคณิตแฟนซีไปพร้อมกัน พิจารณาพหุนามx4 – 16. การดูเลขชี้กำลังอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าควรมีรากสี่ตัวสำหรับพหุนามนี้ ตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะหาพวกเขา
คุณสังเกตไหมว่าพหุนามนี้สามารถเขียนใหม่เป็นผลต่างของกำลังสอง? ดังนั้นแทนที่จะ insteadx4 – 16 คุณมี:
(x^2)^2 - 4^2
ซึ่งโดยใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง แยกตัวประกอบออกมาดังต่อไปนี้:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
เทอมแรกคือผลต่างของกำลังสองอีกครั้ง ดังนั้น แม้ว่าคุณจะไม่สามารถแยกตัวประกอบพจน์ทางขวาอีกต่อไป แต่คุณสามารถแยกตัวประกอบพจน์ทางซ้ายอีกขั้นหนึ่งได้:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
ตอนนี้ได้เวลาหาเลขศูนย์แล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าx= 2 ตัวประกอบแรกจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นนิพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์
ในทำนองเดียวกัน ถ้าx= −2 ตัวประกอบที่สองจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นนิพจน์ทั้งหมดก็จะเป็นเช่นนั้น
ดังนั้นx= 2 และx= −2 เป็นทั้งศูนย์หรือรากของพหุนามนี้
แต่เทอมสุดท้ายนั้นล่ะ? เนื่องจากมีเลขชี้กำลัง "2" จึงควรมีรากที่สอง แต่คุณไม่สามารถแยกตัวประกอบนิพจน์นี้โดยใช้จำนวนจริงที่คุณคุ้นเคย คุณต้องใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงที่เรียกว่าจำนวนจินตภาพ หรือถ้าคุณชอบ ให้ใช้จำนวนเชิงซ้อน นั่นอยู่ไกลเกินขอบเขตของแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ในปัจจุบันของคุณ ดังนั้นตอนนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะสังเกตว่าคุณมีรากที่แท้จริงสองราก (2 และ −2) และรากจินตภาพสองรากที่คุณจะไม่ได้กำหนดไว้
ค้นหารากด้วยกราฟ
คุณยังสามารถค้นหาหรืออย่างน้อยก็ประมาณการรากโดยการสร้างกราฟ ทุกรูตแสดงถึงจุดที่กราฟของฟังก์ชันตัดกับxแกน. ดังนั้นหากคุณวาดกราฟเส้นแล้วสังเกตxพิกัดที่เส้นตัดกับxแกน คุณสามารถแทรกค่าประมาณxค่าของจุดเหล่านั้นลงในสมการของคุณ และตรวจสอบว่าคุณได้ค่าถูกต้องหรือไม่
พิจารณาตัวอย่างแรกที่คุณทำ สำหรับพหุนามx2 – 4x. ถ้าคุณวาดมันออกมาอย่างระมัดระวัง คุณจะเห็นว่าเส้นตัดกับxแกนที่x= 0 และx= 4. หากคุณป้อนแต่ละค่าเหล่านี้ลงในสมการดั้งเดิม คุณจะได้รับ:
0^2 - 4(0) = 0
ดังนั้นx= 0 เป็นศูนย์หรือรูทที่ถูกต้องสำหรับพหุนามนี้
4^2 - 4(4) = 0
ดังนั้นx= 4 ยังเป็นศูนย์หรือรูทที่ถูกต้องสำหรับพหุนามนี้ด้วย และเนื่องจากพหุนามมีดีกรี 2, คุณจึงรู้ว่าคุณสามารถหยุดหารากที่สองได้แล้ว