วิธีการหาอนุพันธ์

การดำเนินการสำคัญอย่างหนึ่งที่คุณทำในแคลคูลัสคือการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกอีกอย่างว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้า x (t) คือตำแหน่งของรถเมื่อใดก็ตาม t ดังนั้นอนุพันธ์ของ x ซึ่งเขียนว่า dx/dt คือความเร็วของรถ นอกจากนี้ อนุพันธ์สามารถแสดงเป็นภาพเป็นความชันของเส้นแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ในระดับทฤษฎี นี่คือวิธีที่นักคณิตศาสตร์หาอนุพันธ์ ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์ใช้ชุดกฎพื้นฐานและตารางค้นหา

ความชันของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดคือการเพิ่มขึ้น หรือความแตกต่างของค่า y หารด้วยการวิ่ง หรือความแตกต่างของค่า x ความชันของฟังก์ชัน y (x) สำหรับค่าหนึ่งของ x ถูกกำหนดให้เป็นความชันของเส้นที่สัมผัสกับฟังก์ชันที่จุด [x, y (x)] ในการคำนวณความชัน คุณต้องสร้างเส้นตรงระหว่างจุด [x, y (x)] และจุดใกล้เคียง [x+h, y (x+h)] โดยที่ h เป็นจำนวนที่น้อยมาก สำหรับบรรทัดนี้ การวิ่งหรือการเปลี่ยนแปลงของค่า x คือ h และการเพิ่มขึ้นหรือการเปลี่ยนแปลงของค่า y คือ y (x+h) - y (x) ดังนั้น ความชันของ y (x) ที่จุด [x, y (x)] มีค่าประมาณเท่ากับ [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)]/ชม. เพื่อให้ได้ความชันอย่างแม่นยำ คุณจะต้องคำนวณค่าของความชันเมื่อ h เล็กลงเรื่อย ๆ จนถึง "ขีดจำกัด" ที่มันจะไปถึงศูนย์ ความชันที่คำนวณด้วยวิธีนี้คืออนุพันธ์ของ y (x) ซึ่งเขียนเป็น y’(x) หรือ dy/dx

คุณสามารถใช้วิธีความชัน/จำกัดเพื่อคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยที่ y เท่ากับ x ยกกำลัง a หรือ y (x) = x^a ตัวอย่างเช่น หาก y เท่ากับ x ลูกบาศก์ y (x) = x^3 dy/dx จะเป็นขีดจำกัดเมื่อ h ไปที่ศูนย์ของ [(x + h)^3 - x^3]/h การขยาย (x+h)^3 ให้ [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h ซึ่งลดลงเหลือ 3x^2 + 3xh^2 + h^2 หลังจากคุณหาร โดย h. ในขีดจำกัดเมื่อ h ไปที่ศูนย์ เทอมทั้งหมดที่มี h อยู่ในนั้นก็จะไปที่ศูนย์ด้วย ดังนั้น y’(x) = dy/dx = 3x^2 คุณสามารถทำเช่นนี้สำหรับค่าอื่นที่ไม่ใช่ 3 และโดยทั่วไป คุณสามารถแสดงว่า d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1)

ฟังก์ชันจำนวนมากสามารถเขียนได้แบบที่เรียกว่า อนุกรมกำลัง ซึ่งเป็นผลรวมของเทอมจำนวนอนันต์ โดยที่ แต่ละค่าอยู่ในรูปแบบ C(n) x^n โดยที่ x เป็นตัวแปร n เป็นจำนวนเต็ม และ C(n) เป็นตัวเลขเฉพาะสำหรับแต่ละค่าของ น. ตัวอย่างเช่น อนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชันไซน์คือ Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +... โดยที่ “...” หมายถึงเงื่อนไขที่ดำเนินต่อ ไม่มีที่สิ้นสุด. หากคุณทราบอนุกรมกำลังของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้อนุพันธ์ของกำลัง x^n เพื่อคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ Sin (x) เท่ากับ 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +... ซึ่งเป็นอนุกรมกำลังของ Cos (x)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน เช่น ยกกำลัง เช่น x^a ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันล็อก และฟังก์ชันตรีโกณมิติ หาได้จากวิธีความชัน/ลิมิต วิธีอนุกรมกำลัง หรือวิธีอื่นๆ อนุพันธ์เหล่านี้จะแสดงอยู่ในตาราง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถค้นหาว่าอนุพันธ์ของ Sin (x) คือ Cos (x) เมื่อฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐาน คุณต้องมีกฎพิเศษ เช่น กฎลูกโซ่และกฎผลิตภัณฑ์ ซึ่งระบุไว้ในตารางด้วย ตัวอย่างเช่น คุณใช้กฎลูกโซ่เพื่อค้นหาอนุพันธ์ของ Sin (x^2) คือ 2xCos (x^2) คุณใช้กฎผลิตภัณฑ์เพื่อค้นหาอนุพันธ์ของ xSin (x) คือ xCos (x) + Sin (x) การใช้ตารางและกฎง่ายๆ คุณสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดก็ได้ แต่เมื่อฟังก์ชันมีความซับซ้อนมาก บางครั้งนักวิทยาศาสตร์ก็หันไปใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อขอความช่วยเหลือ