วิธีการคำนวณพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งปกติ

เส้นโค้งปกติคือชื่อของกราฟของ การแจกแจงความน่าจะเป็นปกติมาตรฐานซึ่งเป็นสิ่งที่ผู้คนพูดถึง (บ่อยครั้งโดยไม่รู้ตัว) เมื่อพูดถึง "เส้นโค้งระฆัง" ที่แสดงตำแหน่งที่ผู้คนหรือตัวแปรอื่นๆ มีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยของประชากรบางส่วน

เส้นโค้งปกติมาตรฐานให้ทั้งภาพและการแสดงตัวเลขว่าตัวแปรที่กำหนดถูกกระจายไปตามประชากรอย่างไรเมื่อ สถานการณ์ในชีวิตจริงที่แสดงโดยฟังก์ชันเป็นที่ทราบกันดีว่ามีการกระจายแบบสมมาตรในกลุ่มประชากรที่สนใจ (ด้วยเหตุนี้ "ระฆัง" รูปร่าง). ซึ่งอาจรวมถึงไอคิวหรือส่วนสูงในผู้ชาย ซึ่งมีแนวโน้มที่จะแปรผันไปทางด้านหนึ่งของค่าเฉลี่ยเช่นเดียวกับอีกด้านหนึ่ง และมีแนวโน้มที่จะแปรผันตามขนาดเดียวกัน

เส้นโค้งปกติทั้งหมดและข้อมูลที่เกี่ยวข้องมีคุณลักษณะบางอย่างที่เหมือนกันซึ่งอนุญาตให้มีการสร้าง ของตารางตัวเลขที่ช่วยในการแก้ค่าพื้นที่แทนคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น complex การคำนวณ

ในการแจกแจงแบบปกติใดๆ ตามคำจำกัดความ จุดข้อมูลต่ำกว่า 68 เปอร์เซ็นต์อยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่าของค่าเฉลี่ยของประชากรหรือกลุ่มตัวอย่าง ประมาณ 95 เปอร์เซ็นต์อยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสองค่า และ 99.9 เปอร์เซ็นต์อยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามค่า

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแต่ละค่าถูกกำหนดเป็นค่าจำนวนเต็มเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย (เช่น -3, -2, 1, 1, 2, 3) และกำหนด ตัวแปรz. ค่านี้หรือคะแนน z ยังสามารถใช้กับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้ (เช่น -2.58)

คะแนน Z ใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายในช่วงความเป็นไปได้ที่ระบุ ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับแจ้งว่าค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับ IQ (ผลหารอัจฉริยะ) คือ 100 และ 20 คะแนน ทำให้ z = 0 สำหรับ IQ = 100 และ z = 1.0 สำหรับ IQ = 120 และขอให้ระบุความน่าจะเป็นที่บุคคลที่ถูกสุ่มเลือกจะมีไอคิวเท่ากับ 140 หรือสูงกว่า คุณใช้ตาราง z เพื่อหาคำตอบ

ในกรณีส่วนใหญ่ในวิชาคณิตศาสตร์ พื้นที่ใต้เส้นโค้งของกราฟของสมการจะพบได้โดยการจัดการ องค์ประกอบเฉพาะของสมการนั้นโดยตรง เช่น การรวมเส้นโค้งระหว่างพิกัด x ของ น่าสนใจ. ด้วยเส้นโค้งปกติ คุณจะค้นหาตัวเลขหนึ่งหรือสองตัวในตารางที่เรียกว่า ค่า z แทน และหากจำเป็น ให้ทำขั้นตอนการลบ

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทั้งหมด โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างที่แน่นอน ถูกกำหนดเป็น 1.0 พื้นที่บางส่วนทั้งหมดภายใต้ เส้นโค้งปกติจึงเป็นตัวเลขทศนิยมระหว่าง 0 ถึง 1 และสามารถแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ได้อย่างง่ายดายโดยการคูณด้วย 100

ตาราง Z ช่วยให้สามารถอ่านคะแนนได้ถึงอันดับที่ร้อยเพื่อให้พื้นที่เป็นตัวเลขนัยสำคัญสี่หรือห้าหลัก ทำได้โดยหาตำแหน่งที่สิบบนแกนซ้ายแล้วอ่านข้ามแถวที่เหมาะสมเพื่อให้ได้ตำแหน่งที่ร้อย

• สิ่งนี้อธิบายได้ว่าทำไมสัดส่วนของพื้นที่ทางด้านซ้ายของ z = -2.58 คือ .00494

สมมติว่าในการทดสอบที่มีค่าเฉลี่ย 80 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ 10 คุณต้องการทราบว่านักเรียนมีคะแนนระหว่าง 65 ถึง 85 เปอร์เซ็นต์เป็นจำนวนเท่าใด

คุณจะเริ่มต้นด้วยการค้นหา คะแนน z บนและล่าง. ทำได้โดยการลบค่าเฉลี่ยออกจากขอบบนแล้วหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: (85 - 80)/10 = 0.50 จากนั้นคุณจะพบขอบเขตล่างในลักษณะเดียวกัน: (65 - 80)/10 -1.50

ตอนนี้คุณสามารถกำหนดค่าพื้นที่ให้กับคะแนน z เหล่านี้ได้โดยอ้างอิงจากตาราง ค่าเหล่านี้คือ 0.68916 สำหรับ z = 0.5 และ 0.06681 สำหรับ z = 1.5 แต่ละพื้นที่เหล่านี้แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้งจาก "หาง" ด้านซ้ายถึง ค่า x ที่เป็นปัญหา ดังนั้นสำหรับพื้นที่ระหว่างจุดสองจุด x = 65 และ x = 85 คุณลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่าเพื่อให้ได้ 0.63135.

ดังนั้น 63.1 เปอร์เซ็นต์ของคะแนนจึงคาดว่าจะอยู่ในช่วง 65 ถึง 85 โดยให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ 10 ในการแจกแจงแบบปกติ