นักเรียนคณิตศาสตร์และนักเรียนวิทยาศาสตร์ทุกคนต้องเผชิญกับพหุนามในบางช่วงระหว่างการศึกษา แต่โชคดีที่พวกเขาสามารถรับมือได้ง่ายเมื่อคุณเรียนรู้พื้นฐาน การดำเนินการหลักที่คุณต้องทำกับนิพจน์พหุนามคือการบวก ลบ คูณ และ การแบ่งและในขณะที่การหารอาจซับซ้อน ส่วนใหญ่คุณจะสามารถจัดการกับพื้นฐานด้วย สบาย.
พหุนาม: ความหมายและตัวอย่าง
พหุนาม อธิบายนิพจน์พีชคณิตที่มีหนึ่งคำหรือมากกว่าที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร (หรือมากกว่าหนึ่ง) โดยมีเลขชี้กำลังและค่าคงที่ ไม่สามารถรวมการหารด้วยตัวแปร ไม่มีเลขชี้กำลังลบหรือเศษส่วน และต้องมีพจน์จำนวนจำกัด
ตัวอย่างนี้แสดงพหุนาม:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
และนี่แสดงให้เห็นอีกอย่างหนึ่ง:
xy^2 - 3 x + y
มีหลายวิธีในการจำแนกพหุนาม รวมทั้งตามระดับ (ผลรวมของเลขชี้กำลังบนเทอมกำลังสูงสุด เช่น 3 ใน ตัวอย่างแรก) และตามจำนวนคำศัพท์ที่มีอยู่ เช่น โมโนเมียล (หนึ่งเทอม) ทวินาม (สองเทอม) และไตรโนเมียล (สาม) เงื่อนไข)
การบวกและการลบพหุนาม
การบวกและการลบพหุนามขึ้นอยู่กับการรวมคำศัพท์ "ชอบ" พจน์ที่เหมือนกันคือคำที่มีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน แต่จำนวนที่คูณด้วย (สัมประสิทธิ์) อาจแตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น,
x2 และ 4x 2 ก็เหมือนพจน์เพราะมีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน และ 2xy 4 และ 6xy 4 ก็เหมือนกับเงื่อนไขเช่นกัน อย่างไรก็ตามx2, x3, x2y2 และy2 ไม่เหมือนพจน์เพราะแต่ละอันประกอบด้วยตัวแปรและเลขชี้กำลังต่างกันเพิ่มพหุนามโดยการรวมพจน์ที่คล้ายกันในลักษณะเดียวกับที่คุณทำกับศัพท์เกี่ยวกับพีชคณิตอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ดูปัญหา:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
รวบรวมเงื่อนไขที่ชอบเพื่อรับ:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
แล้วประเมินโดยการเพิ่มสัมประสิทธิ์เข้าด้วยกันและรวมเป็นพจน์เดียว:
10 x^3 + 5 x + y
โปรดทราบว่าคุณไม่สามารถทำอะไรกับyเพราะมันไม่มีคำว่าเหมือน
การลบทำงานในลักษณะเดียวกัน:
(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) - (2 x^4 + 2 y^2 + y)
ก่อนอื่น ให้สังเกตว่าคำศัพท์ทั้งหมดในวงเล็บปีกกาขวาจะถูกลบออกจากวงเล็บปีกกาด้านซ้าย ดังนั้นให้เขียนเป็น:
4 x^4 + 3 y^2 + 6 y - 2 x^4 - 2 y^2- y
รวมคำศัพท์ที่ชอบและประเมินเพื่อรับ:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
สำหรับปัญหาเช่นนี้:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
โปรดทราบว่าเครื่องหมายลบใช้กับนิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บเหลี่ยมขวา ดังนั้นเครื่องหมายลบสองตัวก่อน 3 signsx2 กลายเป็นสัญญาณเพิ่มเติม:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
แล้วคำนวณเหมือนเดิม
การคูณนิพจน์พหุนาม
คูณนิพจน์พหุนามโดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ พูดง่ายๆ ก็คือ คูณทุกเทอมในพหุนามแรกด้วยทุกเทอมในพหุนามที่สอง ดูตัวอย่างง่ายๆ นี้:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
คุณแก้ปัญหานี้โดยใช้คุณสมบัติการกระจาย ดังนั้น:
\begin{aligned} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{aligned}
จัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นในลักษณะเดียวกัน:
\begin{aligned} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15 x^3 + 6 x^2 \end{จัดตำแหน่ง}
ปัญหาเหล่านี้อาจซับซ้อนสำหรับการจัดกลุ่มที่ใหญ่ขึ้น แต่กระบวนการพื้นฐานยังคงเหมือนเดิม
การหารนิพจน์พหุนาม
การแบ่งนิพจน์พหุนามใช้เวลานานกว่า แต่คุณสามารถจัดการได้เป็นขั้นตอน ดูการแสดงออก:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
ขั้นแรก เขียนนิพจน์เช่นการหารยาวโดยให้ตัวหารอยู่ทางซ้ายและตัวหารอยู่ทางขวา:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
หารเทอมแรกในเงินปันผลด้วยเทอมแรกในตัวหาร และใส่ผลลัพธ์บนเส้นเหนือการหาร ในกรณีนี้,x2 ÷ x = xดังนั้น:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{aligned}
คูณผลลัพธ์นี้ด้วยตัวหารทั้งหมด ดังนั้นในกรณีนี้ (x + 2) × x = x2 + 2 x. ใส่ผลลัพธ์นี้ไว้ใต้ส่วน:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{aligned}
ลบผลลัพธ์ในบรรทัดใหม่ออกจากเงื่อนไขด้านบนโดยตรง (โปรดทราบว่าในทางเทคนิคแล้วคุณเปลี่ยนเครื่องหมาย ดังนั้นหากคุณมีผลลบ คุณควรเพิ่มมันแทน) และใส่สิ่งนี้ลงในบรรทัดด้านล่าง ย้ายเทอมสุดท้ายจากเงินปันผลเดิมลงมาด้วย
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
ทำซ้ำขั้นตอนด้วยตัวหารและพหุนามใหม่ที่บรรทัดล่างสุด ดังนั้นหารเทอมแรกของตัวหาร (x) โดยงวดแรกของเงินปันผล (−5x) และวางไว้ด้านบนนี้:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
คูณผลลัพธ์นี้ (−5x ÷ x= -5) โดยตัวหารดั้งเดิม (ดังนั้น (x + 2) × −5 = −5 x-10) และใส่ผลลัพธ์ในบรรทัดล่างสุดใหม่:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ สิ้นสุด{จัดตำแหน่ง}
จากนั้นลบบรรทัดล่างออกจากบรรทัดถัดไป (ในกรณีนี้ให้เปลี่ยนเครื่องหมายและเพิ่ม) และใส่ผลลัพธ์ในบรรทัดล่างใหม่:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{จัดตำแหน่ง}
เนื่องจากขณะนี้มีแถวศูนย์อยู่ที่ด้านล่าง กระบวนการจึงเสร็จสิ้น หากมีเงื่อนไขที่ไม่เป็นศูนย์ คุณจะทำขั้นตอนซ้ำอีกครั้ง ผลลัพธ์อยู่ที่บรรทัดบนสุด ดังนั้น:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
ส่วนนี้และอื่น ๆ บางส่วนสามารถแก้ไขได้ง่ายกว่าถ้าคุณทำได้ แยกตัวประกอบพหุนาม ในการจ่ายเงินปันผล