การแก้ฟังก์ชันพหุนามเป็นทักษะสำคัญสำหรับทุกคนที่เรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์ แต่การจะเข้าใจกระบวนการโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึงฟังก์ชันที่มีลำดับสูงกว่านั้นอาจเป็นเรื่องที่ท้าทายทีเดียว ฟังก์ชันลูกบาศก์เป็นหนึ่งในประเภทสมการพหุนามที่ท้าทายที่สุดที่คุณอาจต้องแก้ด้วยมือ แม้ว่ามันอาจจะไม่ตรงไปตรงมาเท่าการแก้สมการกำลังสอง แต่ก็มีวิธีการอยู่สองสามวิธี คุณสามารถใช้เพื่อหาคำตอบของสมการลูกบาศก์โดยไม่ต้องอาศัยหน้าและหน้าที่มีรายละเอียด พีชคณิต.
ฟังก์ชันลูกบาศก์คืออะไร?
ฟังก์ชันลูกบาศก์เป็นพหุนามดีกรีสาม ฟังก์ชันพหุนามทั่วไปมีรูปแบบดังนี้
f (x) = ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
ที่นี่ x เป็นตัวแปร น เป็นเพียงตัวเลขใดๆ (และดีกรีของพหุนาม) k เป็นค่าคงที่ และตัวอักษรอื่น ๆ เป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่สำหรับแต่ละยกกำลังของ x. ฟังก์ชันลูกบาศก์มี น = 3 และเป็นเพียง:
f (x) = ขวาน^3 +bx^2 + cx^1+d
ซึ่งในกรณีนี้ d คือค่าคงที่ โดยทั่วไป เมื่อคุณต้องแก้สมการกำลังสาม คุณจะพบมันในรูปแบบ:
ขวาน^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
แต่ละโซลูชั่นสำหรับ x เรียกว่า “ราก” ของสมการ สมการกำลังสามมีหนึ่งรากจริงหรือสามราก แม้ว่าอาจจะทำซ้ำได้ แต่ก็มีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบเสมอ
ประเภทของสมการถูกกำหนดโดยกำลังสูงสุด ดังนั้นในตัวอย่างข้างต้น สมการนี้จะไม่เป็นสมการลูกบาศก์ถ้า a = 0, เพราะเทอมกำลังสูงสุดจะเป็น bx2 และมันจะเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่าต่อไปนี้คือสมการลูกบาศก์ทั้งหมด:
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \\ x^3 −9x + 1 = 0\\ x^3 −15x^2 = 0
การแก้โดยใช้ทฤษฎีบทปัจจัยและการหารสังเคราะห์
วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการกำลังสามนั้นเกี่ยวข้องกับการเดาเล็กน้อยและกระบวนการประเภทอัลกอริธึมที่เรียกว่าการหารสังเคราะห์ การเริ่มต้นนั้นเหมือนกับวิธีการลองผิดลองถูกสำหรับคำตอบสมการกำลังสาม พยายามหาว่ารากหนึ่งมาจากอะไรโดยการเดา หากคุณมีสมการที่สัมประสิทธิ์แรก เท่ากับ 1 ดังนั้นการเดารากใดต้นหนึ่งจะง่ายกว่าเล็กน้อย เพราะมันมักจะเป็นตัวประกอบของพจน์คงที่ซึ่งแทนด้วย d.
ดังนั้น เมื่อพิจารณาจากสมการต่อไปนี้ เช่น
x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
คุณต้องเดาค่าใดค่าหนึ่งสำหรับ x, แต่ตั้งแต่ = 1 ในกรณีนี้ คุณรู้ว่าค่าอะไรก็ตาม มันต้องเป็นตัวประกอบของ 24 ปัจจัยแรกคือ 1 แต่สิ่งนี้จะทำให้:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
ซึ่งไม่ใช่ศูนย์และ -1 จะออกจาก:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
ซึ่งก็ไม่ใช่ศูนย์อีกครั้ง ต่อไป, x = 2 จะให้:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
ล้มเหลวอีก กำลังพยายาม x = −2 ให้:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
แปลว่า x = −2 เป็นรากของสมการลูกบาศก์ นี่แสดงให้เห็นถึงข้อดีและข้อเสียของวิธีการลองผิดลองถูก: คุณสามารถได้คำตอบโดยไม่ต้องมาก คิด แต่ใช้เวลานาน (โดยเฉพาะถ้าคุณต้องไปที่ปัจจัยที่สูงขึ้นก่อนที่จะหาราก) โชคดีที่เมื่อคุณพบหนึ่งรูทแล้ว คุณสามารถแก้สมการที่เหลือได้อย่างง่ายดาย
กุญแจสำคัญคือการรวมทฤษฎีบทปัจจัย นี้ระบุว่าถ้า x = s เป็นคำตอบ ดังนั้น (x – ส) เป็นปัจจัยที่สามารถดึงออกมาจากสมการได้ สำหรับสถานการณ์นี้ ส = −2 และดังนั้น (x + 2) เป็นปัจจัยที่เราสามารถดึงออกมาได้:
(x + 2) (x^2 + ขวาน + b) = 0
พจน์ในวงเล็บกลุ่มที่สองมีรูปสมการกำลังสอง ดังนั้น หากคุณพบค่าที่เหมาะสมสำหรับ และ ข, สามารถแก้สมการได้
สามารถทำได้โดยใช้การแบ่งสังเคราะห์ ขั้นแรก ให้เขียนสัมประสิทธิ์ของสมการดั้งเดิมที่แถวบนสุดของตารางด้วยเส้นแบ่ง แล้วตามด้วยรูทที่ทราบทางด้านขวา:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
เว้นแถวว่างไว้หนึ่งแถว แล้วเพิ่มเส้นแนวนอนด้านล่าง ขั้นแรก ให้นำตัวเลขแรก (1 ในกรณีนี้) ลงไปที่แถวใต้เส้นแนวนอนของคุณ
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array }
ตอนนี้คูณจำนวนที่คุณเพิ่งนำมาลงด้วยรูทที่รู้จัก ในกรณีนี้ 1 × −2 = −2 ซึ่งเขียนไว้ด้านล่างหมายเลขถัดไปในรายการดังนี้:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {อาร์เรย์}
จากนั้นเพิ่มตัวเลขในคอลัมน์ที่สองและใส่ผลลัพธ์ใต้เส้นแนวนอน:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{อาร์เรย์}
ทำซ้ำขั้นตอนที่คุณเพิ่งผ่านไปด้วยตัวเลขใหม่ใต้เส้นแนวนอน: คูณด้วย root ใส่คำตอบลงในช่องว่างในคอลัมน์ถัดไป แล้วเพิ่มคอลัมน์เพื่อรับตัวเลขใหม่บน new แถวล่าง. ใบนี้:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \สิ้นสุด{อาร์เรย์}
แล้วผ่านกระบวนการเป็นครั้งสุดท้าย
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{อาร์เรย์}
ความจริงที่ว่าคำตอบสุดท้ายเป็นศูนย์จะบอกคุณว่าคุณมีรูทที่ถูกต้อง ดังนั้นหากนี่ไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่าคุณทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง
ตอนนี้ แถวล่างสุดจะบอกคุณถึงปัจจัยของสามเทอมในวงเล็บปีกกาชุดที่สอง ดังนั้นคุณสามารถเขียน:
(x^2 − 7x + 12) = 0
และดังนั้น:
(x+2)(x^2 − 7x + 12) = 0
นี่เป็นขั้นตอนที่สำคัญที่สุดของการแก้ปัญหา และคุณสามารถจบจากจุดนี้เป็นต้นไปได้หลายวิธี
แฟคตอริ่งพหุนามลูกบาศก์
เมื่อคุณลบปัจจัยออกแล้ว คุณจะพบวิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแยกตัวประกอบ จากขั้นตอนข้างต้น นี่เป็นปัญหาเดียวกับการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง ซึ่งอาจเป็นเรื่องที่ท้าทายในบางกรณี อย่างไรก็ตาม สำหรับนิพจน์:
(x^2 − 7x + 12)
หากคุณจำได้ว่าตัวเลขสองตัวที่คุณใส่ในวงเล็บจำเป็นต้องบวกกันเพื่อให้ได้สัมประสิทธิ์ที่สอง (7) และคูณเพื่อให้ได้ตัวเลขที่สาม (12) ในกรณีนี้จะค่อนข้างง่ายที่จะเห็นว่า:
(x^2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
คุณคูณมันออกมาได้หากต้องการ อย่าท้อแท้ถ้าคุณไม่เห็นการแยกตัวประกอบในทันที มันต้องใช้เวลาฝึกฝนเล็กน้อย ทำให้สมการเดิมเป็น:
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
ที่ท่านเห็นได้ทันทีมีโซลูชั่นที่ x = −2, 3 และ 4 (ซึ่งทั้งหมดเป็นตัวประกอบของ 24 ซึ่งเป็นค่าคงที่ดั้งเดิม) ในทางทฤษฎี อาจเป็นไปได้ที่จะเห็นการแยกตัวประกอบทั้งหมดโดยเริ่มจากสมการเวอร์ชันดั้งเดิม แต่นี่มันมาก ท้าทายกว่า ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะหาวิธีแก้ปัญหาจากการลองผิดลองถูก แล้วใช้วิธีข้างต้นก่อนที่จะพยายามหา a การแยกตัวประกอบ
หากคุณกำลังมีปัญหาในการดูการแยกตัวประกอบ คุณสามารถใช้สูตรสมการกำลังสองได้:
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\above{1pt}2a}
เพื่อหาแนวทางแก้ไขที่เหลือ
การใช้สูตรลูกบาศก์
แม้ว่ามันจะใหญ่กว่าและจัดการได้ง่ายกว่ามาก แต่ก็มีตัวแก้สมการกำลังสามอย่างง่ายในรูปแบบของสูตรลูกบาศก์ นี้เหมือนกับสูตรสมการกำลังสองที่คุณเพียงแค่ใส่ค่าของคุณ , ข, ค และ d เพื่อหาทางแก้ไขแต่ก็นานกว่านั้นมาก
มันระบุว่า:
x = (q + [q^2 + (r−p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q − [q^2 + (r−p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + p
ที่ไหน
p = {−b \above{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \above{1pt}6a^2}
และ
r = {c \above{1pt}3a}
การใช้สูตรนี้ใช้เวลานาน แต่ถ้าคุณไม่ต้องการใช้วิธีลองผิดลองถูกสำหรับคำตอบสมการกำลังสามและสูตรสมการกำลังสอง วิธีนี้จะได้ผลเมื่อคุณอ่านทั้งหมด