ประเภทของสมการพีชคณิต

สมการพีชคณิตมีห้าประเภทหลัก โดยจำแนกตามตำแหน่งของตัวแปร ประเภทของตัวดำเนินการและฟังก์ชันที่ใช้ และพฤติกรรมของกราฟ สมการแต่ละประเภทมีอินพุตที่คาดไว้ต่างกันและให้ผลลัพธ์ที่มีการตีความต่างกัน ความแตกต่างและความคล้ายคลึงกันระหว่างสมการพีชคณิตห้าประเภทและการใช้งานแสดงให้เห็นถึงความหลากหลายและพลังของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต

โมโนเมียลและพหุนามเป็นสมการที่ประกอบด้วยเทอมตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พหุนามแบ่งตามจำนวนพจน์ในนิพจน์: โมโนเมียลมีหนึ่งเทอม, ทวินามมีสองเทอม, ไตรนามมีสามเทอม นิพจน์ใดๆ ที่มีมากกว่าหนึ่งพจน์เรียกว่าพหุนาม พหุนามยังจำแนกตามระดับ ซึ่งเป็นจำนวนเลขชี้กำลังสูงสุดในนิพจน์ พหุนามที่มีดีกรีหนึ่ง สอง และสามเรียกว่าพหุนามเชิงเส้น กำลังสอง และลูกบาศก์ตามลำดับ สมการ x^2 - x - 3 เรียกว่าไตรโนเมียลกำลังสอง สมการกำลังสองมักพบในพีชคณิต I และ II; กราฟของพวกมัน เรียกว่าพาราโบลา อธิบายส่วนโค้งที่ลากโดยโพรเจกไทล์ที่ยิงขึ้นไปในอากาศ

สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลแตกต่างจากพหุนามตรงที่พวกมันมีพจน์ผันแปรในตัวยกกำลัง ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลังคือ y = 3^(x - 4) + 6 ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกจัดประเภทเป็นการเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง ถ้าตัวแปรอิสระมีค่าสัมประสิทธิ์บวกและการสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลหากมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นลบ สมการการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลใช้เพื่ออธิบายการแพร่กระจายของประชากรและโรค ตลอดจนแนวคิดทางการเงิน เช่น ดอกเบี้ยทบต้น (สูตรสำหรับดอกเบี้ยทบต้นคือ Pe^(rt) โดยที่ P คือเงินต้น r คืออัตราดอกเบี้ยและ t คือจำนวนเงิน ของเวลา) สมการการสลายตัวแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ เช่น การสลายกัมมันตภาพรังสี

ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นส่วนผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สำหรับสมการ y = 2^x ฟังก์ชันผกผันคือ y = log2 x ล็อกฐาน b ของจำนวน x เท่ากับเลขชี้กำลังที่คุณต้องยก b เพื่อให้ได้จำนวน x ตัวอย่างเช่น log2 ของ 16 คือ 4 เพราะ 2 ยกกำลัง 4 คือ 16 ตัวเลขยอดเยี่ยม "e" มักใช้เป็นฐานลอการิทึม ฐานลอการิทึม e มักเรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติ สมการลอการิทึมใช้ในสเกลความเข้มหลายประเภท เช่น มาตราริกเตอร์สำหรับแผ่นดินไหว และสเกลเดซิเบลสำหรับความเข้มของเสียง มาตราส่วนเดซิเบลใช้ฐานบันทึก 10 ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มขึ้นของหนึ่งเดซิเบลสอดคล้องกับความเข้มของเสียงที่เพิ่มขึ้นสิบเท่า

สมการตรรกยะคือสมการพีชคณิตของรูปแบบ p (x) / q (x) โดยที่ p (x) และ q (x) เป็นพหุนามทั้งคู่ ตัวอย่างของสมการตรรกยะคือ (x - 4) / (x^2 - 5x + 4) สมการตรรกยะมีความโดดเด่นในการมีเส้นกำกับ ซึ่งเป็นค่าของ y และ x ที่กราฟของสมการเข้าใกล้แต่ไม่ถึง เส้นกำกับแนวดิ่งของสมการตรรกยะคือค่า x ที่กราฟไม่มีวันไปถึง -- ค่า y จะไปที่อนันต์บวกหรือลบเมื่อค่าของ x เข้าใกล้เส้นกำกับ เส้นกำกับแนวนอนคือค่า y ที่กราฟเข้าใกล้เมื่อ x ไปที่อนันต์บวกหรือลบ

สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tan, sec, csc และ cot ฟังก์ชันตรีโกณมิติอธิบายอัตราส่วนระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้การวัดมุมเป็นตัวแปรอินพุตหรือตัวแปรอิสระ และอัตราส่วนเป็นผลลัพธ์หรือตัวแปรตาม ตัวอย่างเช่น y = sin x อธิบายอัตราส่วนของด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากสำหรับมุมที่มีการวัด x ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีความชัดเจนตรงที่เป็นคาบ ซึ่งหมายความว่ากราฟจะวนซ้ำหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง กราฟของคลื่นไซน์มาตรฐานมีคาบ 360 องศา