อัตราการเปลี่ยนแปลงปรากฏอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในฟิสิกส์ผ่านปริมาณเช่นความเร็วและความเร่ง อนุพันธ์อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณหนึ่งเทียบกับอีกปริมาณหนึ่งทางคณิตศาสตร์ แต่คำนวณ สิ่งเหล่านี้อาจซับซ้อนในบางครั้ง และคุณอาจได้รับกราฟมากกว่าฟังก์ชันในสมการ แบบฟอร์ม. หากคุณได้รับกราฟของเส้นโค้งและต้องหาอนุพันธ์จากกราฟนั้น คุณอาจไม่สามารถแม่นยำเท่ากับสมการได้ แต่คุณสามารถประมาณการที่มั่นคงได้อย่างง่ายดาย
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
เลือกจุดบนกราฟเพื่อหาค่าอนุพันธ์ที่
ลากเส้นตรงสัมผัสเส้นโค้งของกราฟ ณ จุดนี้
ใช้ความชันของเส้นนี้เพื่อหาค่าอนุพันธ์ ณ จุดที่คุณเลือกบนกราฟ
นอกเหนือจากการตั้งค่านามธรรมของการแยกความแตกต่างของสมการ คุณอาจสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับอนุพันธ์ที่แท้จริง ในพีชคณิต อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือสมการที่บอกค่าของ "ความชัน" ของฟังก์ชัน ณ จุดใดก็ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจะบอกคุณว่าปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปเท่าใดเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอีกปริมาณหนึ่ง บนกราฟ ความชันหรือความชันของเส้นจะบอกคุณว่าตัวแปรตาม (วางบนy-axis) เปลี่ยนแปลงด้วยตัวแปรอิสระ (บนx-แกน).
สำหรับกราฟเส้นตรง คุณจะกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลง (คงที่) โดยการคำนวณความชันของกราฟ ความสัมพันธ์ที่อธิบายโดยเส้นโค้งนั้นไม่ง่ายที่จะรับมือ แต่หลักการที่ว่าอนุพันธ์นั้นหมายถึงความชัน (ที่จุดเฉพาะนั้น) ยังคงเป็นจริง
สำหรับความสัมพันธ์ที่อธิบายโดยเส้นโค้ง อนุพันธ์จะใช้ค่าที่แตกต่างกันทุกจุดตามเส้นโค้ง ในการประมาณอนุพันธ์ของกราฟ คุณต้องเลือกจุดที่จะหาอนุพันธ์ที่ ตัวอย่างเช่น หากคุณมีกราฟแสดงระยะทางที่เดินทางกับเวลา บนกราฟเส้นตรง ความชันจะบอกความเร็วคงที่ให้คุณ สำหรับความเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา กราฟจะเป็นเส้นโค้ง แต่เป็นเส้นตรงที่แตะ เส้นโค้งที่จุดหนึ่ง (เส้นสัมผัสเส้นโค้ง) แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงที่จำเพาะนั้น จุด.
เลือกจุดที่คุณต้องการทราบอนุพันธ์ที่ โดยใช้ระยะทางที่เดินทางเทียบกับ ตัวอย่างเวลา เลือกเวลาที่คุณต้องการทราบความเร็วของการเดินทาง หากคุณต้องการทราบความเร็วในหลายจุด คุณสามารถดำเนินการตามขั้นตอนนี้สำหรับแต่ละจุดได้ หากคุณต้องการทราบความเร็ว 15 วินาทีหลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว ให้เลือกจุดบนเส้นโค้งที่ 15 วินาทีบนx-แกน.
ลากเส้นสัมผัสไปยังส่วนโค้ง ณ จุดที่คุณสนใจ ใช้เวลาของคุณในการทำเช่นนี้เพราะเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดและท้าทายที่สุดของกระบวนการ ค่าประมาณของคุณจะดีกว่าถ้าคุณวาดเส้นสัมผัสที่แม่นยำยิ่งขึ้น ถือไม้บรรทัดขึ้นไปที่จุดบนเส้นโค้งแล้วปรับการวางแนวเพื่อให้เส้นที่คุณวาดเท่านั้นแตะเส้นโค้งที่จุดเดียวที่คุณสนใจ
ลากเส้นของคุณตราบเท่าที่กราฟจะอนุญาต ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณสามารถอ่านค่าสองค่าสำหรับทั้ง easilyได้อย่างง่ายดายxและyพิกัดหนึ่งใกล้ต้นสายและอีกเส้นใกล้สิ้นสุด คุณไม่จำเป็นต้องลากเส้นยาว (ในทางเทคนิคแล้ว เส้นตรงใดๆ ก็เหมาะสม) แต่เส้นที่ยาวกว่ามักจะวัดความชันได้ง่ายกว่า
ค้นหาสถานที่สองแห่งในสายของคุณและจดบันทึกxและyพิกัดสำหรับพวกเขา ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพเส้นสัมผัสของคุณเป็นจุดเด่นสองจุดที่x = 1, y= 3 และx = 10, y= 30 ซึ่งคุณสามารถเรียกจุดที่ 1 และจุดที่ 2 การใช้สัญลักษณ์x1 และy1 เพื่อแสดงพิกัดของจุดแรกและx2 และy2 เพื่อแสดงพิกัดของจุดที่สอง ความชันมมอบให้โดย:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
สิ่งนี้บอกคุณถึงอนุพันธ์ของเส้นโค้ง ณ จุดที่เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ในตัวอย่างx1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 และy2 = 30 ดังนั้น:
\begin{aligned} m &= \frac{30 - 3}{10 - 1} \\ \,\\ &= \frac{27}{9} \\ \,\\ &=9 \end{aligned}
ในตัวอย่าง ผลลัพธ์นี้จะเป็นความเร็วที่จุดที่เลือก ดังนั้นหากx-แกนถูกวัดเป็นวินาทีและy-แกนวัดเป็นเมตร ผลที่ได้คือรถที่เป็นปัญหากำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 3 เมตรต่อวินาที โดยไม่คำนึงถึงปริมาณเฉพาะที่คุณกำลังคำนวณ กระบวนการประมาณค่าอนุพันธ์จะเหมือนกัน