โมเมนต์ความเฉื่อย (ความเฉื่อยเชิงมุมและการหมุน): นิยาม สมการ หน่วย

ไม่ว่าจะเป็นนักสเก็ตน้ำแข็งที่ดึงแขนแล้วหมุนเร็วขึ้นหรือแมวควบคุมความเร็วให้หมุน ในระหว่างการล้มเพื่อให้แน่ใจว่าตกลงบนพื้น แนวคิดเรื่องโมเมนต์ความเฉื่อยมีความสำคัญต่อฟิสิกส์ของการหมุน การเคลื่อนไหว

โมเมนต์ความเฉื่อยหรือที่เรียกว่าความเฉื่อยในการหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยคือแอนะล็อกการหมุนของมวลใน กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน อธิบายแนวโน้มของวัตถุที่จะต้านทานความเร่งเชิงมุม

แนวคิดอาจดูไม่น่าสนใจในตอนแรก แต่เมื่อรวมกับกฎการอนุรักษ์เชิงมุม โมเมนตัมสามารถใช้อธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพที่น่าสนใจมากมายและทำนายการเคลื่อนไหวได้หลากหลาย สถานการณ์

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุอธิบายความต้านทานต่อความเร่งเชิงมุม โดยพิจารณาจากการกระจายมวลรอบแกนหมุนของวัตถุ

โดยพื้นฐานแล้วจะวัดปริมาณความยากในการเปลี่ยนความเร็วของการหมุนของวัตถุ ไม่ว่าจะหมายถึงการเริ่มการหมุน หยุด หรือเปลี่ยนความเร็วของวัตถุที่หมุนอยู่แล้ว

บางครั้งเรียกว่าความเฉื่อยในการหมุน และมีประโยชน์ที่จะคิดว่ามันเป็นการเปรียบเทียบของมวลในกฎข้อที่สองของนิวตัน:F_{สุทธิ}​ = ​หม่า. ในที่นี้ มวลของวัตถุมักเรียกว่ามวลเฉื่อย และอธิบายความต้านทานของวัตถุต่อการเคลื่อนที่ (เชิงเส้น) ของวัตถุ ความเฉื่อยในการหมุนทำงานในลักษณะนี้สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน และคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์จะรวมมวลด้วยเสมอ

นิพจน์ที่เทียบเท่ากับกฎข้อที่สองสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนสัมพันธ์แรงบิด​ (​τ, อะนาล็อกการหมุนของแรง) กับความเร่งเชิงมุมαและโมเมนต์ความเฉื่อยผม​:

วัตถุชนิดเดียวกันสามารถมีโมเมนต์ความเฉื่อยได้หลายโมเมนต์ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในขณะที่คำจำกัดความส่วนใหญ่เกี่ยวกับการกระจายมวล วัตถุนี้ยังระบุตำแหน่งของแกนหมุนด้วย

ตัวอย่างเช่น ในขณะที่โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนหมุนรอบจุดศูนย์กลางคือผม​ = ​ML​²/12 (ที่ไหนเอ็มเป็นมวลและหลี่คือ ความยาวของแกน) แกนเดียวกันที่หมุนรอบปลายด้านหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อยกำหนดโดยผม​ = ​ML​²/3.

ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายจึงขึ้นอยู่กับมวลของมันเอ็มรัศมีของมันRและแกนหมุนของมัน

ในบางกรณี,Rเรียกว่าdสำหรับระยะห่างจากแกนหมุนและอื่น ๆ (เช่นเดียวกับแกนในส่วนก่อนหน้า) จะถูกแทนที่ด้วยความยาวหลี่. สัญลักษณ์ผมใช้สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อย และมีหน่วยเป็น kg m².

ตามที่คุณคาดหวังจากสิ่งที่คุณได้เรียนรู้ไปแล้ว มีสมการที่แตกต่างกันมากมายสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อย และแต่ละสมการอ้างอิงถึงรูปร่างเฉพาะและแกนการหมุนเฉพาะ ในทุกโมเมนต์ของความเฉื่อย เทอมนาย​² ปรากฏขึ้น แม้ว่าสำหรับรูปทรงต่างๆ จะมีเศษส่วนต่างกันอยู่ข้างหน้าเทอมนี้ และในบางกรณีอาจมีการรวมพจน์หลายคำเข้าด้วยกัน

นาย​² องค์ประกอบคือโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลจุดที่ระยะทางRจากแกนของการหมุน และสมการสำหรับวัตถุที่มีความแข็งจำเพาะถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมของมวลจุด หรือโดยการรวมมวลจุดเล็กจำนวนอนันต์เหนือวัตถุ

ในบางกรณี อาจเป็นประโยชน์ในการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุโดยพิจารณาจากผลรวมเลขคณิตอย่างง่ายของมวลจุดหรือโดย การรวมเข้าด้วยกันในทางปฏิบัติมีผลมากมายสำหรับรูปร่างและแกนหมุนทั่วไปที่คุณสามารถใช้ได้โดยไม่จำเป็นต้องได้รับมา ครั้งแรก:

กระบอกตัน (แกนสมมาตร):

ทรงกระบอกทึบ (แกนเส้นผ่านศูนย์กลางกลางหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของหน้าตัดวงกลมตรงกลางกระบอกสูบ):

ทรงกลมทึบ (แกนกลาง):

เปลือกทรงกลมบาง (แกนกลาง):

ห่วง (แกนสมมาตร กล่าวคือ ตั้งฉากผ่านจุดศูนย์กลาง):

ห่วง (แกนเส้นผ่านศูนย์กลาง กล่าวคือ เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่เกิดจากห่วง):

แกน (แกนกลาง ตั้งฉากกับความยาวแกน):

คัน (หมุนรอบปลาย):

การทำความเข้าใจว่าเหตุใดจึงมีสมการที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละแกนของการหมุนจึงเป็นขั้นตอนสำคัญในการทำความเข้าใจแนวคิดของโมเมนต์ความเฉื่อย

คิดเกี่ยวกับดินสอ: คุณสามารถหมุนมันได้โดยหมุนไปรอบ ๆ ตรงกลาง ปลายสุดหรือบิดไปรอบแกนกลาง เนื่องจากความเฉื่อยในการหมุนของวัตถุขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของมวลรอบแกนของการหมุน แต่ละสถานการณ์จึงแตกต่างกันและต้องใช้สมการที่แยกจากกันเพื่ออธิบาย

คุณสามารถเข้าใจโดยสัญชาตญาณของแนวคิดเรื่องโมเมนต์ความเฉื่อยได้ หากคุณขยายข้อโต้แย้งเดียวกันนี้ให้สูงถึงเสาธงขนาด 30 ฟุต

การหมุนเสาไปจนสุดทางจะเป็นเรื่องยากมาก หากคุณสามารถจัดการมันได้เลย ในขณะที่การหมุนเสารอบแกนกลางจะง่ายกว่ามาก เนื่องจากแรงบิดขึ้นอยู่กับระยะห่างจากแกนหมุนอย่างมาก และในระยะ 30 ฟุต ตัวอย่างเสาธง การหมุนปลายสุดปลายแต่ละด้านให้สุดห่างจากแกนของ. 15 ฟุต การหมุน

อย่างไรก็ตาม หากคุณหมุนมันรอบแกนกลาง ทุกอย่างจะค่อนข้างใกล้กับแกน สถานการณ์ก็เหมือนกับการถือของหนักที่ระยะแขนกับ ถือไว้ใกล้ตัว หรือใช้คันโยกจากด้านท้าย ใกล้กับจุดศูนย์กลาง

นี่คือเหตุผลที่คุณต้องใช้สมการอื่นเพื่ออธิบายโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุเดียวกันโดยขึ้นอยู่กับแกนหมุน แกนที่คุณเลือกจะส่งผลต่อระยะที่ส่วนต่างๆ ของร่างกายอยู่ห่างจากแกนหมุน แม้ว่ามวลของร่างกายจะเท่าเดิม

กุญแจสำคัญในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวัตถุแข็งเกร็งคือการเรียนรู้การใช้สมการที่เหมาะสม

พิจารณาดินสอจากส่วนก่อนหน้าโดยหมุนปลายด้านเหนือรอบจุดศูนย์กลางตามความยาว ในขณะที่มันไม่ใช่สมบูรณ์แบบคัน (เช่น ปลายแหลมจะหักรูปร่างนี้) สามารถสร้างแบบจำลองดังกล่าวได้ เพื่อช่วยให้คุณไม่ต้องผ่านโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ

ดังนั้น เมื่อจำลองวัตถุเป็นแท่ง คุณจะใช้สมการต่อไปนี้เพื่อหาโมเมนต์ความเฉื่อย รวมกับมวลรวมและความยาวของดินสอ:

ความท้าทายที่ยิ่งใหญ่กว่าคือการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุประกอบ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาลูกบอลสองลูกที่เชื่อมต่อกันด้วยไม้เรียว (ซึ่งเราจะถือว่าไม่มีมวลเพื่อลดความซับซ้อนของปัญหา) ลูกบอลที่หนึ่งมีน้ำหนัก 2 กก. และอยู่ห่างจากแกนหมุน 2 ม. และลูกบอลที่สองมีมวล 5 กก. และอยู่ห่างจากแกนหมุน 3 ม.

ในกรณีนี้ คุณสามารถค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุผสมนี้ได้โดยพิจารณาว่าลูกบอลแต่ละลูกมีมวลจุดและทำงานจากคำจำกัดความพื้นฐานที่:

ด้วยตัวห้อยเพียงแค่แยกความแตกต่างระหว่างวัตถุต่างๆ (เช่น บอล 1 และ บอล 2) วัตถุสองลูกจะมี:

โมเมนตัมเชิงมุม (แอนะล็อกการหมุนสำหรับโมเมนตัมเชิงเส้น) ถูกกำหนดเป็นผลคูณของความเฉื่อยในการหมุน (กล่าวคือ โมเมนต์ของความเฉื่อยผม) ของวัตถุและความเร็วเชิงมุมω) ซึ่งวัดเป็นองศา/วินาที หรือ rad/s

คุณจะคุ้นเคยกับกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นอย่างไม่ต้องสงสัย และโมเมนตัมเชิงมุมก็ถูกอนุรักษ์ในลักษณะเดียวกันอย่างไม่ต้องสงสัย สมการโมเมนตัมเชิงมุมหลี่) คือ:

การคิดถึงความหมายในทางปฏิบัตินั้นสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพหลายอย่างได้ เนื่องจาก (ในกรณีที่ไม่มีแรงอื่น) ยิ่งความเฉื่อยในการหมุนของวัตถุยิ่งสูง ความเร่งเชิงมุมของวัตถุก็จะยิ่งต่ำลงเท่านั้น

พิจารณานักสเก็ตน้ำแข็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่โดยกางแขนออก และสังเกตว่าแขนของเขาที่กางออกจะเพิ่มรัศมีRที่ซึ่งมวลของเขาถูกกระจาย นำไปสู่โมเมนต์ความเฉื่อยมากกว่าถ้าแขนของเขาอยู่ใกล้กับร่างกายของเขา

ถ้าหลี่​₁ คำนวณโดยกางแขนออกและหลี่​₂หลังจากดึงแขนของเขาเข้าไปจะต้องมีค่าเท่ากัน (เพราะอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมไว้) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเขาลดโมเมนต์ความเฉื่อยด้วยการดึงแขน ความเร็วเชิงมุมของเขาωเพิ่มขึ้นเพื่อชดเชย

แมวทำการเคลื่อนไหวที่คล้ายกันเพื่อช่วยให้พวกเขาเหยียบเท้าเมื่อตกลงมา

เมื่อกางขาและหางออก พวกมันจะเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยและลดความเร็วการหมุน และในทางกลับกันพวกเขาสามารถดึงขาเพื่อลดโมเมนต์ความเฉื่อยและเพิ่มความเร็วในการหมุน พวกเขาใช้กลยุทธ์ทั้งสองนี้ – พร้อมกับแง่มุมอื่น ๆ ของ “การสะท้อนที่ถูกต้อง” – เพื่อให้แน่ใจว่าเท้าของพวกเขาตกลง อย่างแรก คุณจะเห็นขั้นตอนที่แตกต่างกันของการม้วนตัวและยืดตัวในภาพถ่ายไทม์แลปส์ของแมว ลงจอด

ความคล้ายคลึงกันระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้นและการเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างต่อเนื่อง วัตถุยังมีพลังงานจลน์ในการหมุนในลักษณะเดียวกับที่พวกมันมีพลังงานจลน์เชิงเส้น

ลองนึกถึงลูกบอลที่กลิ้งไปมาบนพื้น ทั้งหมุนรอบแกนกลางและเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในลักษณะเชิงเส้น: พลังงานจลน์ทั้งหมดของลูกบอลคือผลรวมของพลังงานจลน์เชิงเส้นอี​_k และพลังงานจลน์การหมุนของมันอี​_เน่า. ความคล้ายคลึงกันระหว่างพลังงานทั้งสองนี้จะสะท้อนให้เห็นในสมการของทั้งสองโดยจำได้ว่าเป็นวัตถุ โมเมนต์ความเฉื่อยเป็นอะนาล็อกการหมุนของมวลและความเร็วเชิงมุมของมันคืออะนาล็อกการหมุนของเส้นตรง ความเร็ววี​):

คุณจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าสมการทั้งสองมีรูปแบบเหมือนกันทุกประการ โดยมีแอนะล็อกการหมุนที่เหมาะสมแทนที่สมการพลังงานจลน์ของการหมุน

แน่นอน ในการคำนวณพลังงานจลน์ในการหมุน คุณจะต้องแทนที่นิพจน์ที่เหมาะสมสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุลงในช่องว่างสำหรับผม. เมื่อพิจารณาจากลูกบอลและจำลองวัตถุให้เป็นทรงกลมทึบ สมการจะเป็นดังนี้:

พลังงานจลน์ทั้งหมด (อี​_tot) คือผลรวมของสิ่งนี้และพลังงานจลน์ของลูกบอล ดังนั้น คุณสามารถเขียนว่า:

สำหรับลูกบอลขนาด 1 กก. ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้น 2 ม./วินาที มีรัศมี 0.3 ม. และด้วยความเร็วเชิงมุม 2π rad/วินาที พลังงานทั้งหมดจะเป็นดังนี้:

ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ วัตถุอาจมีพลังงานจลน์เชิงเส้นเท่านั้น (เช่น ลูกบอลหล่นจาก ความสูงที่ไม่มีการหมุนสปิน) หรือพลังงานจลน์ในการหมุนเท่านั้น (ลูกบอลหมุนแต่อยู่ในตำแหน่ง)

จำไว้ว่ามันคือรวมพลังงานที่ถูกอนุรักษ์ไว้ ถ้าลูกบอลถูกเตะไปที่กำแพงโดยไม่มีการหมุนเริ่มต้นและเด้งกลับมาด้วยความเร็วที่ต่ำกว่าแต่มีสปินที่ส่งไปพร้อมกับพลังงาน สูญเสียเสียงและความร้อนเมื่อสัมผัสกัน ส่วนหนึ่งของพลังงานจลน์เริ่มต้นถูกถ่ายโอนไปยังพลังงานจลน์แบบหมุนลาดอาจจะเคลื่อนที่เร็วเหมือนก่อนกระเด้งกลับ