บางครั้งจำเป็นต้องหาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งเมื่อคูณด้วยเมทริกซ์กำลังสอง จะได้เวกเตอร์คูณกันกลับมา เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์นี้เรียกว่า "เวกเตอร์ไอเกน" Eigenvectors ไม่เพียงแต่เป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นที่สนใจของคนอื่นๆ ในวิชาชีพ เช่น ฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ ในการคำนวณ คุณจะต้องเข้าใจเมทริกซ์พีชคณิตและดีเทอร์มิแนนต์
เรียนรู้และเข้าใจคำจำกัดความของ "eigenvector" มันถูกพบสำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม n x n A และ a ค่าลักษณะเฉพาะสเกลาร์ที่เรียกว่า "แลมบ์ดา" แลมบ์ดาใช้อักษรกรีกแทน แต่ในที่นี้เราจะย่อให้ ล. หากมีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ x โดยที่ Ax = Lx เวกเตอร์ x นี้เรียกว่า "ค่าลักษณะเฉพาะของ A"
ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์โดยใช้สมการคุณลักษณะ det (A -- LI) = 0 "เดต" ย่อมาจากดีเทอร์มีแนนต์ และ "ฉัน" คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
คำนวณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่าโดยหาค่าลักษณะเฉพาะ E(L) ซึ่งเป็นสเปซว่างของสมการลักษณะเฉพาะ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของ E(L) คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ A สิ่งเหล่านี้พบได้โดยการเสียบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะกลับเข้าไปในเมทริกซ์ลักษณะเฉพาะและหาพื้นฐานสำหรับ A -- LI = 0
คำนวณค่าลักษณะเฉพาะด้วยการใช้สมการคุณลักษณะ Det (A -- LI) คือ (3 -- L)(3 -- L) 1 = L^2 -- 6L + 8 = 0 ซึ่งเป็นพหุนามลักษณะเฉพาะ การแก้พีชคณิตนี้ทำให้เรา L1 = 4 และ L2 = 2 ซึ่งเป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ของเรา
ค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับ L = 4 โดยการคำนวณพื้นที่ว่าง ทำได้โดยวาง L1 = 4 ในเมทริกซ์ลักษณะเฉพาะและหาพื้นฐานสำหรับ A - 4I = 0 ในการแก้ เราจะพบว่า x -- y = 0, หรือ x = y มีคำตอบอิสระเพียงคำตอบเดียว เนื่องจากมีค่าเท่ากัน เช่น x = y = 1 ดังนั้น v1 = (1,1) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ครอบคลุมพื้นที่ลักษณะเฉพาะของ L1 = 4
ทำซ้ำขั้นตอนที่ 6 เพื่อค้นหา eigenvector สำหรับ L2 = 2 เราพบ x + y = 0 หรือ x = --y สิ่งนี้มีคำตอบอิสระหนึ่งเดียว เช่น x = --1 และ y = 1 ดังนั้น v2 = (--1,1) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ครอบคลุมพื้นที่ลักษณะเฉพาะของ L2 = 2