วิธีการคำนวณชุดค่าผสมและพีชคณิต

สมมติว่าคุณมีรายการ n ประเภท และคุณต้องการเลือกคอลเลกชันของรายการเหล่านี้ เราอาจต้องการรายการเหล่านี้ในลำดับบางอย่าง เราเรียกชุดของการเรียงสับเปลี่ยนของรายการเหล่านี้ หากลำดับไม่สำคัญ เราจะเรียกชุดค่าผสมคอลเลกชัน สำหรับทั้งการรวมกันและการเรียงสับเปลี่ยน คุณสามารถพิจารณากรณีที่คุณเลือกประเภท n บางประเภทมากกว่า ครั้งเดียวเรียกว่า 'ซ้ำซ้อน' หรือกรณีที่คุณเลือกแต่ละประเภทเพียงครั้งเดียวเรียกว่า 'ไม่' ซ้ำซาก' เป้าหมายคือการสามารถนับจำนวนชุดค่าผสมหรือพีชคณิตที่เป็นไปได้ในสถานการณ์ที่กำหนด

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลมักใช้ในการคำนวณชุดค่าผสมและพีชคณิต ไม่! หมายถึง N×(N–1)×...×2×1. ตัวอย่างเช่น 5! = 5×4×3×2×1 = 120. จำนวนของวิธีการสั่งซื้อชุดสินค้าเป็นแฟคทอเรียล ใช้ตัวอักษรสามตัว a, b และ c คุณมีสามตัวเลือกสำหรับตัวอักษรตัวแรก สองตัวสำหรับตัวที่สอง และตัวเดียวสำหรับตัวที่สาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทั้งหมด 3×2×1 = 6 คำสั่ง โดยทั่วไปมี n! วิธีการสั่งซื้อ n รายการ

สมมติว่าคุณมีห้องที่จะทาสีสามห้อง และแต่ละห้องจะถูกทาสีหนึ่งในห้าสี: สีแดง (r), สีเขียว (g), สีฟ้า (b), สีเหลือง (y) หรือสีส้ม (o) คุณสามารถเลือกสีแต่ละสีได้หลายครั้งตามต้องการ คุณมีห้าสีให้เลือกสำหรับห้องแรก ห้าสีสำหรับห้องที่สอง และห้าสีสำหรับห้องที่สาม สิ่งนี้ให้ความเป็นไปได้ทั้งหมด 5 × 5 × 5 = 125 โดยทั่วไป จำนวนวิธีในการเลือกกลุ่มของรายการ r ในลำดับเฉพาะจาก n ตัวเลือกที่ทำซ้ำได้คือ n^r

สมมุติว่าทุกห้องจะมีสีต่างกัน คุณสามารถเลือกจากห้าสีสำหรับห้องแรก สี่สีสำหรับห้องที่สอง และเพียงสามสีสำหรับห้องที่สาม นี่ทำให้ 5×4×3 = 60 ซึ่งเพิ่งจะเป็น 5!/2! โดยทั่วไป จำนวนวิธีอิสระในการเลือก r รายการในลำดับเฉพาะจาก n ตัวเลือกที่ไม่สามารถทำซ้ำได้คือ n!/(n–r)!

ต่อไปก็ลืมไปว่าห้องไหนเป็นสีอะไร เพียงเลือกสีอิสระสามสีสำหรับชุดสี ลำดับไม่สำคัญที่นี่ ดังนั้น (แดง เขียว น้ำเงิน) ก็เหมือนกับ (แดง น้ำเงิน เขียว) มีให้เลือก 3 สี 3 สี! วิธีที่คุณสามารถสั่งซื้อได้ ดังนั้นคุณจึงลดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนลง 3! เพื่อให้ได้ 5!/(2!×3!) = 10 โดยทั่วไป คุณสามารถเลือกกลุ่มของ r รายการในลำดับใดก็ได้จากการเลือก n ตัวเลือกที่ไม่สามารถทำซ้ำได้ใน n!/[(n–r)!×r!] วิธี

สุดท้าย คุณต้องสร้างชุดสีที่คุณสามารถใช้สีใดก็ได้กี่ครั้งก็ได้ตามต้องการ รหัสการทำบัญชีที่ชาญฉลาดช่วยงานการนับนี้ ใช้ X สามตัวเพื่อเป็นตัวแทนของห้อง รายการสีของคุณแสดงด้วย 'rgbyo' ผสม Xs ลงในรายการสีของคุณ และเชื่อมโยง X แต่ละสีกับสีแรกทางด้านซ้ายของสี ตัวอย่างเช่น rgXXbyXo หมายความว่าห้องแรกเป็นสีเขียว ห้องที่สองเป็นสีเขียว และห้องที่สามเป็นสีเหลือง X ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งสีทางด้านซ้าย ดังนั้นจึงมีห้าช่องที่พร้อมใช้งานสำหรับ X แรก เนื่องจากตอนนี้รายการมี X แล้ว มีหกช่องที่พร้อมใช้งานสำหรับ X ที่สองและเจ็ดช่องที่พร้อมใช้งานสำหรับ X ที่สาม รวมแล้วมี 5×6×7 = 7!/4! วิธีการเขียนโค้ด อย่างไรก็ตาม ลำดับของห้องนั้นเป็นสิ่งที่ไม่แน่นอน ดังนั้นจึงมีเพียง 7!/(4!×3!) เท่านั้นที่จัดเรียงได้ โดยทั่วไป คุณสามารถเลือก r รายการในลำดับใดก็ได้จาก n ตัวเลือกที่ทำซ้ำได้ใน (n+r–1)!/[(n–1)!×r!] วิธี