คนส่วนใหญ่จำทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากเรขาคณิตเบื้องต้น — เป็นแบบคลาสสิก มันคือ
a^2 + b^2 = c^2
ที่ไหน, ขและคคือด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก (คคือด้านตรงข้ามมุมฉาก) ทฤษฎีบทนี้ยังสามารถเขียนใหม่สำหรับตรีโกณมิติได้อีกด้วย!
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
อัตลักษณ์พีทาโกรัสเป็นสมการที่เขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
หลักเอกลักษณ์ของพีทาโกรัสคือ:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
อัตลักษณ์พีทาโกรัสเป็นตัวอย่างของอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ: ความเท่าเทียมกัน (สมการ) ที่ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ทำไมมันถึงสำคัญ?
ข้อมูลเฉพาะตัวของพีทาโกรัสมีประโยชน์อย่างมากในการทำให้ประโยคตรีโกณมิติและสมการที่ซับซ้อนง่ายขึ้น จดจำพวกเขาตอนนี้และคุณสามารถช่วยตัวเองได้มากเวลาลงที่ถนน!
พิสูจน์โดยใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณฯ
ข้อมูลเฉพาะตัวเหล่านี้ค่อนข้างง่ายในการพิสูจน์ว่าคุณคิดถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณฯ มาพิสูจน์กันเถอะ
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
จำไว้ว่านิยามของไซน์คือด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์นั้นคือด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ดังนั้น
\sin^2 = \frac{\text{opposite}^2} {\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}^2}
และ
\cos^2 = \frac{\text{adjacent}^2} {\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}^2}
คุณสามารถเพิ่มสองตัวนี้เข้าด้วยกันได้อย่างง่ายดายเพราะตัวส่วนเท่ากัน
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{opposite}^2 + \text{adjacent}^2} {\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}^2}
ทีนี้ลองดูทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้ง มันบอกว่า2 + ข2 = ค2. จำไว้ว่าและขยืนสำหรับด้านตรงข้ามและด้านประชิดและคย่อมาจากด้านตรงข้ามมุมฉาก
คุณสามารถจัดเรียงสมการใหม่ได้โดยการหารทั้งสองข้างด้วยค2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
ตั้งแต่2 และข2 เป็นด้านตรงข้ามและด้านประชิดและค2 คือด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณมีข้อความที่เทียบเท่ากับข้อความด้านบนด้วย (opposite2 + อยู่ติดกัน2) / ด้านตรงข้ามมุมฉาก2. และต้องขอบคุณการทำงานกับ, ข, คและทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตอนนี้คุณสามารถเห็นข้อความนี้เท่ากับ 1!
ดังนั้น
\frac{ \text{opposite}^2 + \text{adjacent}^2} {\text{hypotenuse}^2} = 1
และดังนั้นจึง:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(และควรเขียนให้ถูกต้องดีกว่า: บาป2(θ) + cos2(θ) = 1).
อัตลักษณ์ซึ่งกันและกัน
ลองใช้เวลาสักครู่ดูอัตลักษณ์ซึ่งกันและกันเช่นกัน จำไว้ว่าซึ่งกันและกันคือหนึ่งหารด้วย ("มากกว่า") จำนวนของคุณ – หรือที่เรียกว่าผกผัน
เนื่องจากโคซีแคนต์เป็นส่วนกลับของไซน์:
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
คุณยังสามารถคิดถึงโคซีแคนต์โดยใช้นิยามของไซน์ ตัวอย่างเช่น ไซน์ = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่าผกผันของสิ่งนั้นจะเป็นเศษส่วนที่พลิกคว่ำ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก/ด้านตรงข้าม
ในทำนองเดียวกัน ส่วนกลับของโคไซน์คือซีแคนต์ ดังนั้นจึงนิยามเป็น
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ หรือ } \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent side}}
และส่วนกลับของแทนเจนต์คือโคแทนเจนต์ ดังนั้น
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{ด้านที่อยู่ติดกัน}}{\text{ด้านตรงข้าม}}
การพิสูจน์เอกลักษณ์ของพีทาโกรัสโดยใช้ซีแคนต์และโคซีแคนต์นั้นคล้ายกันมากกับหลักฐานของไซน์และโคไซน์ คุณยังสามารถหาสมการได้โดยใช้สมการ "พาเรนต์", sin2(θ) + cos2(θ) = 1. หารทั้งสองข้างด้วย cos2(θ) เพื่อรับตัวตน 1 + tan2(θ) = วินาที2(θ). หารทั้งสองข้างด้วยบาป2(θ) เพื่อรับบัตรประจำตัว 1 + เปล2(θ) = csc2(θ).
ขอให้โชคดีและอย่าลืมจดจำอัตลักษณ์พีทาโกรัสทั้งสาม!