เคยสงสัยหรือไม่ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่นไซน์และโคไซน์เกี่ยวข้องกันอย่างไร? ทั้งคู่ใช้สำหรับคำนวณด้านและมุมในรูปสามเหลี่ยม แต่ความสัมพันธ์มีมากกว่านั้นเอกลักษณ์ของ cofunctionให้สูตรเฉพาะที่แสดงวิธีการแปลงระหว่างไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ และซีแคนต์และโคซีแคนต์
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
ไซน์ของมุมเท่ากับโคไซน์ของส่วนประกอบและในทางกลับกัน สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันอื่นๆ เช่นกัน
วิธีง่ายๆ ในการจดจำว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันร่วมคือฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชันคือcofunctionsถ้าหนึ่งในนั้นมี "co-" นำหน้าอยู่ข้างหน้า ดังนั้น:
- ไซน์และร่วมไซน์เป็นร่วมฟังก์ชั่น.
- แทนเจนต์และร่วมแทนเจนต์คือร่วมฟังก์ชั่น.
- ซีแคนท์และร่วมซีแคนต์คือร่วมฟังก์ชั่น.
เราสามารถคำนวณกลับไปกลับมาระหว่าง cofunctions โดยใช้คำจำกัดความนี้: ค่าของฟังก์ชันของมุมเท่ากับค่าของ cofunction ของคอมพลีเมนต์
ฟังดูซับซ้อน แต่แทนที่จะพูดถึงค่าของฟังก์ชันโดยทั่วไป เรามาดูตัวอย่างเฉพาะกันดีกว่า ดิไซน์ของมุมเท่ากับโคไซน์ของการเติมเต็ม และเช่นเดียวกันสำหรับ cofunctions อื่นๆ: แทนเจนต์ของมุมเท่ากับโคแทนเจนต์ของส่วนประกอบ
ข้อควรจำ: สองมุมคือเติมเต็มถ้ารวมกันได้ 90 องศา
Cofunction Identities ในหน่วยองศา:
(สังเกตว่า 90° −xให้ส่วนเสริมของมุมแก่เรา)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (90° - x) \\ \sec (x) = \csc (90° - x)\\ \csc (x) = \sec (90° - x)
Cofunction Identities ในเรเดียน
จำไว้ว่าเราสามารถเขียนสิ่งต่าง ๆ ในรูปของเรเดียนซึ่งเป็นหน่วย SI สำหรับการวัดมุม เก้าสิบองศาเท่ากับ π/2 เรเดียน เราจึงสามารถเขียน cofunction identities ได้ดังนี้:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cos (x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan (x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg)
การพิสูจน์เอกลักษณ์ของ Cofunction
ทั้งหมดนี้ฟังดูดี แต่เราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่านี่เป็นเรื่องจริง การทดสอบตัวเองด้วยตัวอย่างสามเหลี่ยมสองสามตัวอย่างสามารถช่วยให้คุณรู้สึกมั่นใจ แต่ก็มีการพิสูจน์เชิงพีชคณิตที่เข้มงวดมากขึ้นเช่นกัน มาพิสูจน์อัตลักษณ์ร่วมของไซน์และโคไซน์กัน เราจะทำงานเป็นเรเดียน แต่ก็เหมือนกับการใช้องศา
หลักฐาน:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x \bigg)
ก่อนอื่น ย้อนกลับไปในความทรงจำของคุณถึงสูตรนี้ เพราะเราจะใช้มันในการพิสูจน์ของเรา:
\cos (A - B) = \cos (A)\cos (B) + \sin (A)\sin (B)
เข้าใจไหม ตกลง. ทีนี้มาพิสูจน์กัน: บาป(x) = cos (π/2 − x)
เราสามารถเขียน cos ใหม่ได้ (π/2 −x) แบบนี้:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos (x) + 1 ×\sin ( x)
เพราะเรารู้
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ and } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
ดังนั้น
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin (x)
ทาดา! ทีนี้มาพิสูจน์ด้วยโคไซน์กัน!
หลักฐาน:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
ระเบิดอีกครั้งจากอดีต: จำสูตรนี้ได้หรือไม่?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
เรากำลังจะใช้มัน ทีนี้มาพิสูจน์กัน:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
เราสามารถเขียนความบาปใหม่ได้ (π/2 −x) แบบนี้:
\begin{aligned} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{aligned}
เพราะเรารู้
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ and } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
ดังนั้นเราจึงได้รับ
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos (x)
เครื่องคิดเลข Cofunction
ลองตัวอย่างการทำงานกับ cofunctions ด้วยตัวคุณเอง แต่ถ้าคุณติดขัด Math Celebrity มีเครื่องคำนวณ cofunction ที่แสดงวิธีแก้ปัญหาแบบทีละขั้นตอนสำหรับปัญหา cofunction
มีความสุขในการคำนวณ!