เมื่อคุณเริ่มทำตรีโกณมิติและแคลคูลัสแล้ว คุณอาจพบกับนิพจน์ต่างๆ เช่น บาป (2θ) โดยจะขอให้คุณหาค่าของθ. การเล่นลองผิดลองถูกด้วยแผนภูมิหรือเครื่องคิดเลขเพื่อค้นหาคำตอบจะมีตั้งแต่ฝันร้ายที่ยืดเยื้อไปจนถึงสิ่งที่เป็นไปไม่ได้เลย โชคดีที่อัตลักษณ์แบบมุมคู่พร้อมให้ความช่วยเหลือ นี่เป็นตัวอย่างพิเศษของสิ่งที่เรียกว่าสูตรผสม ซึ่งแบ่งหน้าที่ของรูปแบบ (อา + บี) หรือ (อา – บี) ลงในฟังก์ชันของ justอาและบี.
อัตลักษณ์สองมุมสำหรับไซเน
มีอัตลักษณ์แบบมุมคู่สามแบบ แต่ละแบบสำหรับฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ แต่อัตลักษณ์ไซน์และโคไซน์สามารถเขียนได้หลายวิธี ต่อไปนี้เป็นสองวิธีในการเขียนเอกลักษณ์สองมุมสำหรับฟังก์ชันไซน์:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
อัตลักษณ์สองมุมสำหรับโคไซน์
มีหลายวิธีในการเขียนเอกลักษณ์สองมุมสำหรับโคไซน์:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
อัตลักษณ์สองมุมสำหรับแทนเจนต์
อย่างปราณี มีวิธีเดียวในการเขียนเอกลักษณ์สองมุมสำหรับฟังก์ชันแทนเจนต์:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
การใช้อัตลักษณ์สองมุม
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังเผชิญกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่คุณทราบความยาวของด้าน แต่ไม่ใช่การวัดมุมของมัน คุณได้รับการร้องขอให้ค้นหาθที่ไหนθเป็นมุมหนึ่งของสามเหลี่ยม หากด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมีขนาด 10 หน่วย ด้านที่อยู่ติดกับมุมของคุณจะมีขนาด 6 หน่วย และด้านตรงข้ามมุมมีขนาด 8 หน่วย ไม่สำคัญว่าคุณจะไม่ทราบค่าของθ; คุณสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับไซน์และโคไซน์ บวกกับสูตรมุมสองเท่าสูตรใดสูตรหนึ่งเพื่อค้นหาคำตอบ
เมื่อคุณเลือกมุมแล้ว คุณสามารถกำหนดไซน์เป็นอัตราส่วนของด้านตรงข้ามส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์เป็นอัตราส่วนของด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก ในตัวอย่างที่เพิ่งให้มา คุณมี:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
คุณพบนิพจน์สองนิพจน์นี้เนื่องจากเป็นส่วนประกอบที่สำคัญที่สุดสำหรับสูตรสองมุม
เนื่องจากมีสูตรมุมสองเท่ามากมายให้เลือก คุณจึงสามารถเลือกสูตรที่คำนวณได้ง่ายกว่าและจะคืนค่าประเภทข้อมูลที่คุณต้องการ ในกรณีนี้เพราะคุณรู้ว่าบาปθและ cosθเป็นที่ชัดเจนว่านิพจน์ที่สะดวกที่สุดคือ:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
คุณรู้ค่าของ sinθ และ cosθ อยู่แล้ว ดังนั้นให้แทนที่มันลงในสมการ:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
เมื่อคุณลดความซับซ้อน คุณจะมี:
\sin (2θ) = \frac{96}{101}{100}
แผนภูมิตรีโกณมิติส่วนใหญ่จะกำหนดเป็นทศนิยม ดังนั้นให้ดำเนินการหารที่แสดงด้วยเศษส่วนเพื่อแปลงเป็นรูปแบบทศนิยม ตอนนี้คุณมี:
\sin (2θ) = 0.96
สุดท้าย ให้หาอินเวอร์สไซน์หรืออาร์คไซน์ของ 0.96 ซึ่งเขียนเป็น sin −1(0.96). หรือใช้เครื่องคิดเลขหรือแผนภูมิเพื่อประมาณมุมที่มีไซน์เท่ากับ 0.96 ปรากฎว่ามันเกือบจะเท่ากับ 73.7 องศาพอดี ดังนั้น2θ= 73.7 องศา
หารสมการแต่ละข้างด้วย 2 สิ่งนี้ช่วยให้คุณ:
θ = 36.85 \ข้อความ{ องศา}