สมมติว่าคุณรู้ว่าความสูงเฉลี่ยของผู้หญิงอเมริกันอยู่ที่ 5 ฟุต 4 นิ้ว (ประมาณ 1.63 ม.) สมมติว่าคุณได้รับการบอกด้วยว่าหอประชุมซึ่งมีผู้หญิงที่เป็นผู้ใหญ่ 500 คนยืนอยู่เป็นตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของประชากรอเมริกัน นั่นคือ คุณสามารถคาดหวังได้อย่างเป็นธรรมว่าความสูงเฉลี่ยของผู้หญิงในหอประชุมจะเท่ากับ 5' 4" ด้วย
หากคุณสุ่มเลือกคนสามคนออกจากห้องโดยสุ่ม คุณคาดหวังให้ความสูงโดยเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยของพวกเขาอยู่ที่ 5' 4" หรือไม่ ทำไมหรือทำไมไม่? เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเลือก 10 คนแทน? หรือ 100? นอกจากนี้ สมมติว่าคุณทำการทดลองวัดความสูงของผู้หญิงสามคนที่สุ่มเลือกในห้องซ้ำแล้วซ้ำอีก แล้วจึงหาค่าเฉลี่ย เหล่านี้ ค่าเฉลี่ย?
เมื่อเวลาผ่านไป คุณอาจคาดหวังค่าเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเหล่านี้ ซึ่งแต่ละค่าจะเรียกว่า x bar (xs) หรือ ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, เพื่อเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยประชากรของ 5' 4". และถ้าคุณใช้กลุ่มตัวอย่างที่มากขึ้น คุณจะคาดหวังว่าการบรรจบกันของค่าเฉลี่ยการสุ่มตัวอย่างและค่าเฉลี่ย (จำนวนประชากร) ที่แท้จริงจะเกิดขึ้นเร็วกว่านี้ แต่ทำไม?
สถิติประชากร
คำตอบของคำถามข้างต้นอยู่ในขอบเขตทางสถิติของ การกระจายตัวอย่าง. แต่ก่อนอื่น คำศัพท์และคำจำกัดความบางอย่างอยู่ในลำดับ
ค่าเฉลี่ยประชากรเป็นค่าที่ยอมรับและกำหนดโดยการทดลองกับกลุ่มบุคคลที่คุณกำลังศึกษามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ดังนั้น ถ้าหอประชุมของคุณมีผู้หญิงอเมริกัน 500 คน ผู้หญิงอเมริกันทั้งชุดจะมีจำนวนมากกว่าโดยนัย
พี แสดงถึงแนวคิดที่คล้ายกัน: ประชากรที่รู้จัก สัดส่วนเช่น "สัดส่วนของสุนัขทั่วโลกที่สามารถวิ่งได้มากกว่า 15 ไมล์ต่อชั่วโมงคือ 0.40 (40 เปอร์เซ็นต์)" p̂เรียกว่า "p-hat" คือสัดส่วนเฉลี่ยที่พบหลังจากสุ่มตัวอย่างจำนวนหนึ่งที่มีขนาดเท่ากัน (เช่น สุนัข 10 ตัว) จากประชากรกลุ่มใหญ่
ตัวอย่างเช่น สุนัขกลุ่มหนึ่งที่สุ่มเลือก 10 ตัวอาจมีความเร็วเฉลี่ย 17.8 ไมล์ต่อชั่วโมง, 14.3 ไมล์ต่อชั่วโมงถัดไป, 12.8 ไมล์ต่อชั่วโมงถัดไป เป็นต้น จนกว่าคุณจะวิเคราะห์ตัวอย่างได้มากเท่าที่คุณต้องการ
สถิติการสุ่มตัวอย่าง
การแจกแจงการสุ่มตัวอย่างช่วยให้คุณกำหนดได้ว่ากลุ่มที่คุณกำลังเก็บตัวอย่างนั้นเป็นตัวแทนของประชากรที่มากขึ้นจริง ๆ หรือไม่ ทั้งนี้เป็นเพราะตาม ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเป็นจำนวน x bar (xs) เพิ่มขึ้น กราฟของค่าเฉลี่ยและการกระจายจะคล้ายกับค่าเฉลี่ยประชากรจริง นั่นคือจะเป็นการกระจายแบบปกติ (รูประฆัง)
กลับไปที่ผู้หญิงในหอประชุม: เมื่อเวลาผ่านไป คุณอาจคาดหวังค่าเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเหล่านี้ เรียกว่า x-bar (x̄) หรือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง เพื่อเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยประชากรของ 5' 4" ไม่ว่าคุณจะรวมจุดข้อมูล (n) ไว้กี่จุด แต่ละ x-bar. และถ้าคุณใช้ตัวอย่างขนาดใหญ่ เช่น 100 คนหรือสุนัขต่อครั้ง แทนที่จะเป็น 10 คน คุณก็จะคาดหวังทั้งสองอย่างนั้น แต่ละคนจะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงมากขึ้น และต้องมีค่าเฉลี่ยจำนวนน้อยกว่านี้เพื่อเข้าใกล้สิ่งนี้ ค่าเฉลี่ยที่แท้จริง
ตัวอย่างเช่น หากคุณเลือกผู้หญิงสามคน คุณจะไม่แปลกใจเลยหากความสูงเฉลี่ยของพวกเขาคือ 5' 9" หรือ 5' 1" เนื่องจาก "ค่าผิดปกติ" ที่สูงมากหรือสั้นมากเพียงค่าเดียวสามารถตัดค่าเฉลี่ยได้มากเมื่อจำนวนจุดข้อมูลเท่ากับ เล็ก.
แต่ถ้าคุณทำการทดลองซ้ำกับผู้หญิง 100 คนและเห็นค่า x-bar เท่ากับ 5' 8.2", 5' 7.3" เป็นต้น คุณจะมีเหตุผลที่จะ สรุปได้ว่ากลุ่มตัวอย่างประชากร 500 คนในหอประชุมไม่ใช่กลุ่มตัวอย่างที่สุ่มเลือกของผู้หญิงอเมริกัน
เครื่องคิดเลข X-Bar
คุณสามารถค้นหาค่าของ x-bar สำหรับตัวอย่างใดๆ ได้อย่างรวดเร็วโดยอ้างอิงไปยังหน้าที่คล้ายกันในแหล่งข้อมูล ในการรวมค่าเหล่านี้เพื่อรับการกระจายตัวอย่าง คุณสามารถใช้โปรแกรมสเปรดชีต เช่น Microsoft Excel หรือ Google ชีตที่มีเครื่องมือทางสถิติที่บรรจุไว้ล่วงหน้าต่างๆ สำหรับการใช้งานในลักษณะนี้