วิธีการคำนวณความแปรปรวน

ความสามารถในการคำนวณค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวเลขมีความสำคัญในทุกด้านของชีวิต หากคุณเป็นอาจารย์กำหนดเกรดจดหมายให้กับคะแนนสอบและให้เกรด B- แก่ a คะแนนกลางซอง ก็ต้องรู้ชัด ๆ ว่าซองกลางหน้าตาเป็นอย่างไร เป็นตัวเลข คุณต้องมีวิธีระบุคะแนนเป็นค่าผิดปกติเพื่อให้คุณสามารถระบุได้ว่าเมื่อใดที่ใครบางคนสมควรได้รับ A หรือ A+ (นอกเหนือจากคะแนนที่สมบูรณ์แบบอย่างเห็นได้ชัด) รวมถึงสิ่งที่ควรค่าแก่คะแนนที่สอบตก

ด้วยเหตุนี้และเหตุผลที่เกี่ยวข้อง ข้อมูลที่สมบูรณ์เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยรวมถึงข้อมูลเกี่ยวกับการจัดกลุ่มอย่างใกล้ชิดรอบคะแนนเฉลี่ยที่คะแนนโดยทั่วไป ข้อมูลนี้ถูกส่งโดยใช้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และที่เกี่ยวข้อง ความแปรปรวน ของตัวอย่างทางสถิติ

คุณคงเคยได้ยินหรือเห็นคำว่า "ค่าเฉลี่ย" ที่ใช้อ้างอิงถึงชุดของตัวเลขหรือจุดข้อมูล และคุณอาจพอเข้าใจแล้วว่าคำว่า "ค่าเฉลี่ย" ในภาษาต่างๆ ในชีวิตประจำวันแปลว่าอะไร ตัวอย่างเช่น หากคุณอ่านว่าความสูงเฉลี่ยของผู้หญิงอเมริกันประมาณ 5 ฟุต 4 นิ้ว คุณสรุปได้ทันทีว่า "ค่าเฉลี่ย" หมายถึง "ตามแบบฉบับ" และผู้หญิงประมาณครึ่งหนึ่งในสหรัฐอเมริกาสูงกว่านี้ ในขณะที่อีกครึ่งหนึ่งเป็น สั้นกว่า

ในทางคณิตศาสตร์ เฉลี่ย และ หมายถึง เหมือนกันทุกประการ: คุณเพิ่มค่าทั้งหมดในชุดและหารด้วยจำนวนรายการในชุด ตัวอย่างเช่น หากกลุ่มที่มีคะแนน 25 คะแนนในการทดสอบ 10 คำถามมีช่วงตั้งแต่ 3 ถึง 10 และรวมกันเป็น 196 คะแนน คะแนนเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ย) คือ 196/25 หรือ 7.84

ค่ามัธยฐานคือค่าจุดกึ่งกลางในชุด ตัวเลขที่ครึ่งหนึ่งของค่าอยู่เหนือและครึ่งหนึ่งของค่าอยู่ด้านล่าง มักจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ย) แต่ไม่เหมือนกัน

หากคุณมองดูชุดคะแนน 25 คะแนนเช่นเดียวกับด้านบนและแทบไม่เห็นอะไรเลยนอกจากค่า 7, 8 และ 9 ก็สมเหตุสมผลดีที่ค่าเฉลี่ยควรอยู่ที่ประมาณ 8 แต่ถ้าคุณไม่เห็นอะไรเลยนอกจากคะแนน 6 และ 10 หรือห้าคะแนน 0 และ 20 คะแนน 9 หรือ 10? ทั้งหมดนี้สามารถสร้างค่าเฉลี่ยเท่ากันได้

ความแปรปรวนคือการวัดว่าจุดในชุดข้อมูลมีการแพร่กระจายกว้างเพียงใดเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย ในการคำนวณความแปรปรวนด้วยมือ คุณต้องนำผลต่างทางคณิตศาสตร์ระหว่างจุดข้อมูลแต่ละจุดกับค่าเฉลี่ย ยกกำลังสอง บวกผลรวมของกำลังสองแล้วหารผลลัพธ์ด้วยค่าน้อยกว่าจำนวนจุดข้อมูลใน ตัวอย่าง. ตัวอย่างนี้มีให้ในภายหลัง คุณยังสามารถใช้โปรแกรมต่างๆ เช่น Excel หรือเว็บไซต์ เช่น Rapid Tables (ดูแหล่งข้อมูลสำหรับไซต์เพิ่มเติม)

ความแปรปรวนแสดงโดย σ², "ซิกม่า" ของกรีกที่มีเลขชี้กำลัง 2

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของกลุ่มตัวอย่างก็แค่สแควร์รูทของความแปรปรวน เหตุผลที่ใช้กำลังสองในการคำนวณความแปรปรวนคือถ้าคุณรวมความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและแต่ละค่าเข้าด้วยกัน แต่ละจุดข้อมูล ผลรวมจะเป็นศูนย์เสมอเพราะความแตกต่างเหล่านี้บางส่วนเป็นบวกและบางส่วนเป็นค่าลบและจะยกเลิกกัน ออก. การยกกำลังสองเทอมจะช่วยขจัดข้อผิดพลาดนี้

สมมติว่าคุณได้รับ 10 จุดข้อมูล:

4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9

หาค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขั้นแรก บวกค่า 10 เข้าด้วยกันแล้วหารด้วย 10 เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ย):

70/10 = 7.0

เพื่อให้ได้ค่าความแปรปรวน ให้ยกกำลังสองส่วนต่างระหว่างจุดข้อมูลแต่ละจุดกับค่าเฉลี่ย บวกสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกันแล้วหารผลลัพธ์ด้วย (10 - 1) หรือ 9:

• 7 - 4 = 3; 3² = 9
  
• 7 - 7 = 0; 0² = 0
  
• 7 - 10 = -3; (-3)² = 9.. .

9 + 0 + 9 +... + 4 = 36

σ²= 36/9 = 4.0

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ เป็นเพียงสแควร์รูทของ 4.0 หรือ 2.0