ตัวอย่างเปรียบเทียบในพีชคณิตคืออะไร?

ในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างที่ขัดแย้งจะใช้เพื่อหักล้างคำสั่ง หากคุณต้องการพิสูจน์ว่าคำกล่าวนั้นเป็นความจริง คุณต้องเขียนหลักฐานเพื่อพิสูจน์ว่าคำกล่าวนั้นเป็นความจริงเสมอ ให้ตัวอย่างไม่เพียงพอ การเขียนตัวอย่างโต้แย้งนั้นง่ายกว่ามากเมื่อเทียบกับการเขียนหลักฐาน ถ้าคุณต้องการแสดงว่าคำสั่งไม่เป็นความจริง คุณจะต้องให้ตัวอย่างสถานการณ์หนึ่งที่ข้อความนั้นเป็นเท็จเท่านั้น ตัวอย่างโต้กลับส่วนใหญ่ในพีชคณิตเกี่ยวข้องกับการปรับตัวเลข

การเขียนพิสูจน์อักษรและการค้นหาตัวอย่างโต้แย้งเป็นสองชั้นเรียนหลักของคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่การเขียนเชิงพิสูจน์เพื่อพัฒนาทฤษฎีบทและคุณสมบัติใหม่ เมื่อข้อความหรือการคาดเดาไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง นักคณิตศาสตร์จะหักล้างโดยยกตัวอย่างที่ขัดแย้งกัน

แทนที่จะใช้ตัวแปรและสัญลักษณ์นามธรรม คุณสามารถใช้ตัวอย่างที่เป็นตัวเลขเพื่อหักล้างอาร์กิวเมนต์ได้ ในพีชคณิต ตัวอย่างที่โต้แย้งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการจัดการโดยใช้ตัวเลขบวกและลบหรือคี่และคู่ที่แตกต่างกัน กรณีที่รุนแรงและตัวเลขพิเศษเช่น 0 และ 1

ปรัชญาของตัวอย่างตรงข้ามคือว่าหากในสถานการณ์หนึ่งข้อความไม่เป็นความจริง ข้อความนั้นเป็นเท็จ ตัวอย่างที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์คือ "ทอมไม่เคยโกหก" ในการแสดงข้อความนี้เป็นความจริง คุณต้องแสดง "หลักฐาน" ที่ทอมไม่เคยโกหกด้วยการติดตามทุกคำที่ทอมเคยทำ อย่างไรก็ตาม เพื่อหักล้างคำกล่าวนี้ คุณจะต้องแสดงคำโกหกเพียงคำเดียวที่ทอมเคยพูด

"จำนวนเฉพาะทั้งหมดเป็นเลขคี่" แม้ว่าจำนวนเฉพาะเกือบทั้งหมด รวมทั้งจำนวนเฉพาะที่อยู่เหนือ 3 จะเป็นเลขคี่ แต่ "2" เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นคู่ คำสั่งนี้เป็นเท็จ "2" คือตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง

"การลบเป็นการสับเปลี่ยน" ทั้งการบวกและการคูณเป็นการสับเปลี่ยน -- สามารถดำเนินการในลำดับใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนจริง a และ b ใดๆ a + b= b + a และ a * b = b * a อย่างไรก็ตาม การลบไม่ใช่การสับเปลี่ยน ตัวอย่างที่พิสูจน์ว่านี่คือ: 3 - 5 ไม่เท่ากับ 5 - 3

"ทุกฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถหาอนุพันธ์ได้" ฟังก์ชันสัมบูรณ์ |x| ต่อเนื่องกันสำหรับจำนวนบวกและลบทั้งหมด แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 0; ตั้งแต่ |x| เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ตัวอย่างที่ขัดแย้งนี้พิสูจน์ว่าไม่ใช่ทุกฟังก์ชันต่อเนื่องที่สามารถหาอนุพันธ์ได้