อาเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทางที่เกี่ยวข้องกัน นี้แตกต่างจากสเกลาร์ปริมาณซึ่งสอดคล้องกับขนาดเท่านั้น ความเร็วเป็นตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์ มันมีทั้งขนาด (ความเร็วของบางสิ่ง) และทิศทาง (ทิศทางที่มันกำลังเคลื่อนที่)
เวกเตอร์มักจะวาดเป็นลูกศร ความยาวของลูกศรสอดคล้องกับขนาดของเวกเตอร์ และจุดของลูกศรระบุทิศทาง
มีสองวิธีในการทำงานกับการบวกและการลบเวกเตอร์ อย่างแรกคือกราฟิก โดยจัดการไดอะแกรมลูกศรของเวกเตอร์เอง ประการที่สองคือทางคณิตศาสตร์ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่แน่นอน
การบวกและการลบเวกเตอร์แบบกราฟิกในหนึ่งมิติ
เมื่อเพิ่มเวกเตอร์สองเวกเตอร์ คุณต้องวางส่วนท้ายของเวกเตอร์ที่สองไว้ที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์แรกโดยที่ยังคงการวางแนวเวกเตอร์ไว้เวกเตอร์ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์แรกและชี้เป็นเส้นตรงไปยังส่วนท้ายของเวกเตอร์ที่สอง
ตัวอย่างเช่น ลองเพิ่มเวกเตอร์อาและบีซึ่งชี้ไปในทิศทางเดียวกันตามแนวเส้น เราวางพวกมัน "ปลายจรดหาง" และเวกเตอร์ผลลัพธ์คชี้ไปในทิศทางเดียวกันและมีความยาวที่เป็นผลรวมของความยาวของอาและบี.
การลบเวกเตอร์ในมิติเดียวโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับการบวก ยกเว้นว่าคุณ "พลิก" เวกเตอร์ที่สอง ผลลัพธ์โดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าการลบเหมือนกับการเพิ่มค่าลบ
การบวกและการลบเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ในหนึ่งมิติ
เมื่อทำงานในมิติเดียว ทิศทางของเวกเตอร์สามารถระบุได้ด้วยเครื่องหมาย เราเลือกทิศทางเดียวให้เป็นทิศทางบวก (โดยทั่วไป "ขึ้น" หรือ "ขวา" จะถูกเลือกเป็นค่าบวก) และกำหนดเวกเตอร์ใดๆ ที่ชี้ไปในทิศทางนั้นเป็นปริมาณบวก เวกเตอร์ใดๆ ที่ชี้ไปในทิศทางลบคือปริมาณลบ เมื่อบวกหรือลบเวกเตอร์ ให้บวกหรือลบขนาดของพวกมันด้วยเครื่องหมายที่เหมาะสม
สมมติว่าในส่วนก่อนหน้า vectorอามีขนาด 3 และเวกเตอร์บีมีขนาด 5 แล้วเวกเตอร์ผลลัพธ์C = A + B =8 เวกเตอร์ขนาด 8 ชี้ไปในทิศทางบวก และเวกเตอร์ผลลัพธ์ดี = A - B =-2, เวกเตอร์ขนาด 2 ชี้ไปในทิศทางลบ โปรดทราบว่าสิ่งนี้สอดคล้องกับผลลัพธ์กราฟิกก่อนหน้านี้
เคล็ดลับ: โปรดใช้ความระมัดระวังในการเติมเวกเตอร์ที่เป็นประเภทเดียวกันเท่านั้น: ความเร็ว + ความเร็ว แรง + แรง และอื่นๆ เช่นเดียวกับคณิตศาสตร์ทั้งหมดในฟิสิกส์ หน่วยต้องตรงกัน!
การบวกและการลบเวกเตอร์แบบกราฟิกในสองมิติ
หากเวกเตอร์แรกและเวกเตอร์ที่สองไม่อยู่ในเส้นเดียวกันในปริภูมิคาร์ทีเซียน คุณสามารถใช้วิธี "ปลายต่อท้าย" เดียวกันเพื่อเพิ่มหรือลบพวกมันได้ ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัว ให้ลองนึกภาพว่ายกอันที่สองแล้ววางหางไว้ที่ปลายอันแรกโดยคงการวางแนวดังที่แสดงไว้ เวกเตอร์ผลลัพธ์คือลูกศรที่เริ่มต้นที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์แรกและสิ้นสุดที่ส่วนปลายของเวกเตอร์ที่สอง:
เช่นเดียวกับในมิติหนึ่ง การลบเวกเตอร์หนึ่งออกจากอีกมิติหนึ่งก็เท่ากับการพลิกและบวก ในกราฟิกดูเหมือนว่าต่อไปนี้:
•••ดาน่า เฉิน | วิทยาศาสตร์
หมายเหตุ: บางครั้งการบวกเวกเตอร์จะแสดงเป็นภาพกราฟิกโดยใส่ส่วนท้ายของเวกเตอร์เสริมทั้งสองเข้าด้วยกันและสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ผลลัพธ์จะเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้
การบวกและการลบเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ในสองมิติ
ในการเพิ่มและลบเวกเตอร์ในสองมิติทางคณิตศาสตร์ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
แยกเวกเตอร์แต่ละตัวเป็น anx-ส่วนประกอบ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าส่วนประกอบแนวนอน และ ay-ส่วนประกอบ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าองค์ประกอบแนวตั้ง โดยใช้ตรีโกณมิติ (โปรดทราบว่าส่วนประกอบอาจเป็นค่าลบหรือค่าบวก ขึ้นอยู่กับทิศทางที่เวกเตอร์ชี้ไป)
เพิ่มx- ส่วนประกอบของเวกเตอร์ทั้งสองรวมกัน แล้วเติมy- ส่วนประกอบของเวกเตอร์ทั้งสองรวมกัน ผลลัพธ์นี้จะทำให้คุณxและyส่วนประกอบของเวกเตอร์ผลลัพธ์
หาขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์สามารถพบได้ผ่านตรีโกณมิติโดยใช้ฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผัน ทิศทางนี้มักจะถูกกำหนดเป็นมุมเทียบกับค่าบวกx-แกน.
ตรีโกณมิติในการบวกเวกเตอร์
จำความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากจากตรีโกณมิติ
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ theta)=\frac{b}{a}
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
c^2=a^2+b^2
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ให้ตัวอย่างคลาสสิกของวิธีที่เราอาจใช้ความสัมพันธ์เหล่านี้ในการสลายเวกเตอร์และกำหนดขนาดและทิศทางสุดท้ายของเวกเตอร์
พิจารณาคนสองคนกำลังเล่นจับ สมมติว่าคุณได้รับแจ้งว่าลูกบอลถูกโยนจากความสูง 1.3 ม. ด้วยความเร็ว 16 ม./วินาที ที่มุม 50 องศากับแนวราบ เพื่อเริ่มวิเคราะห์ปัญหานี้ คุณจะต้องแยกเวกเตอร์ความเร็วเริ่มต้นเป็น thisxและyส่วนประกอบตามที่แสดง:
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (50)=12.3\ข้อความ{ ม./วินาที}
ถ้าคนจับพลาดบอลแล้วตกพื้น จะตีด้วยความเร็วสุดท้ายเท่าไร?
ด้วยการใช้สมการจลนศาสตร์ เราสามารถระบุได้ว่าองค์ประกอบสุดท้ายของความเร็วของลูกบอลคือ:
v_{xf}=10.3 \ข้อความ{ m/s}\\ v_{yf}=-13.3\ข้อความ{ m/s}
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสช่วยให้เราสามารถหาขนาดได้:
v_{f}=\sqrt{(10.3)^2+ (-13.3)^2}=16.8\text{ m/s}
และตรีโกณมิติช่วยให้เราสามารถกำหนดมุมได้:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{-13.3}{10.3}\Big)=-52.2\degree
ตัวอย่างการบวกและการลบเวกเตอร์
พิจารณารถที่ปัดเศษมุม สมมติวีผมสำหรับรถอยู่ในx-ทิศทางด้วยขนาด 10 เมตร/วินาที และวีฉอยู่ที่มุม 45 องศากับค่าบวกx-แกนขนาด 10 เมตร/วินาที หากการเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้นภายใน 3 วินาที ความเร่งของรถจะขนาดไหนและเมื่อเลี้ยว?
จำได้ว่าอัตราเร่งนั้นเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่กำหนดเป็น:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
ที่ไหนวีฉและวีผมเป็นความเร็วสุดท้ายและความเร็วต้นตามลำดับ (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ด้วย)
เพื่อคำนวณผลต่างเวกเตอร์ vectorวีฉ - วีผม,ก่อนอื่นเราต้องแยกเวกเตอร์ความเร็วต้นและระยะสุดท้าย:
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
จากนั้นเราก็ลบส่วนสุดท้ายxและyส่วนประกอบตั้งแต่เริ่มต้นxและyส่วนประกอบที่จะได้รับส่วนประกอบของวีฉ - วีผม:
จากนั้นเราลบxและyส่วนประกอบ:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7.07\ข้อความ{ ม./วินาที}
จากนั้นหารด้วยเวลาเพื่อให้ได้ส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร่ง:
a_x=\frac{-2.93}{3}=-0.977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2.36\text{ m/s} ^2
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาขนาดของเวกเตอร์ความเร่ง:
a=\sqrt{(-0.977)^2+(2.36)^2}=2.55\text{ m/s}^2
สุดท้าย ใช้ตรีโกณมิติเพื่อค้นหาทิศทางของเวกเตอร์ความเร่ง:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{2.36}{-0.977}\Big)=113\degree