สมการจลนศาสตร์อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีการเร่งความเร็วคงที่ สมการเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตัวแปรของเวลา ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ ทำให้ตัวแปรใด ๆ เหล่านี้สามารถแก้ไขได้หากทราบค่าอื่น
ด้านล่างเป็นภาพวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ในมิติเดียว ตัวแปร t เป็นเวลา ตำแหน่งคือ เอ็กซ์, ความเร็ว วี และความเร่ง . ตัวห้อย ผม และ ฉ ย่อมาจาก "เริ่มต้น" และ "สุดท้าย" ตามลำดับ สันนิษฐานว่า t = 0 ที่ xผม และ วีผม.
(แทรกภาพที่ 1)
รายการสมการจลนศาสตร์
มีสมการจลนศาสตร์หลักสามสมการที่แสดงไว้ด้านล่างซึ่งนำไปใช้เมื่อทำงานในมิติเดียว สมการเหล่านี้คือ:
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
หมายเหตุเกี่ยวกับสมการจลนศาสตร์
- สมการเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับความเร่งคงที่เท่านั้น (ซึ่งอาจเป็นศูนย์ในกรณีของความเร็วคงที่)
- ขึ้นอยู่กับแหล่งที่คุณอ่าน ปริมาณสุดท้ายอาจไม่มีตัวห้อย ฉและ/หรืออาจแสดงในรูปของฟังก์ชันเป็น x (ท) – อ่าน “x ตามหน้าที่ของเวลา” หรือ “x ในเวลา t” – และ วี (ท). สังเกตว่า x (ท) ไม่มีความหมาย x คูณด้วย t!
-
บางครั้งปริมาณ xฉ - xผม ถูกเขียนขึ้น
Δxหมายความว่า “การเปลี่ยนแปลงใน x” หรือเรียกง่ายๆ ว่า dความหมายคือ การกระจัด ทั้งหมดมีค่าเท่ากัน ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งเป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีทิศทางที่เกี่ยวข้องกับพวกมัน ในมิติเดียว โดยทั่วไปแล้วทิศทางจะถูกระบุด้วยเครื่องหมาย ปริมาณบวกอยู่ในทิศทางบวก และปริมาณเชิงลบอยู่ในทิศทางเชิงลบ ตัวห้อย: "0" อาจใช้สำหรับตำแหน่งเริ่มต้นและความเร็วแทน ผม. "0" นี้หมายถึง "at t = 0," และ x0 และ วี0 โดยทั่วไปจะออกเสียงว่า "x-naught" และ "v-naught" * สมการเดียวเท่านั้นที่ไม่รวมเวลา เมื่อเขียนสิ่งที่ให้มาและกำหนดว่าจะใช้สมการใด นี่คือกุญแจสำคัญ!
กรณีพิเศษ: ฤดูใบไม้ร่วงฟรี Free
การเคลื่อนที่ตกอย่างอิสระคือการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เร่งความเร็วเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียวในกรณีที่ไม่มีแรงต้านของอากาศ ใช้สมการจลนศาสตร์เดียวกัน อย่างไรก็ตาม ทราบค่าความเร่งใกล้พื้นผิวโลก ขนาดของความเร่งนี้มักจะแสดงด้วย gโดยที่ g = 9.8 m/s2. ทิศทางของการเร่งความเร็วนี้ลดลงสู่พื้นผิวโลก (โปรดทราบว่าบางแหล่งอาจใกล้เคียง g เป็น 10 เมตร/วินาที2และคนอื่นๆ อาจใช้ค่าที่ถูกต้องมากกว่าทศนิยมสองตำแหน่ง)
กลยุทธ์การแก้ปัญหาสำหรับปัญหาจลนศาสตร์ในมิติเดียว:
ร่างไดอะแกรมของสถานการณ์และเลือกระบบพิกัดที่เหมาะสม (จำได้ว่า x, วี และ เป็นปริมาณเวกเตอร์ทั้งหมด ดังนั้นการกำหนดทิศทางบวกที่ชัดเจนจะทำให้ติดตามสัญญาณได้ง่ายขึ้น)
เขียนรายการปริมาณที่ทราบ (ระวังว่าบางครั้งสิ่งที่รู้ก็ไม่ชัดเจน มองหาวลีเช่น “เริ่มต้นจากการพักผ่อน” หมายความว่า วีผม = 0 หรือ “กระแทกพื้น” หมายความว่า xฉ = 0 เป็นต้น)
กำหนดปริมาณที่คำถามต้องการให้คุณค้นหา สิ่งที่ไม่รู้จักที่คุณจะแก้คืออะไร?
เลือกสมการจลนศาสตร์ที่เหมาะสม นี่จะเป็นสมการที่มีปริมาณที่คุณไม่รู้จักพร้อมกับปริมาณที่ทราบ
แก้สมการของจำนวนที่ไม่รู้จัก จากนั้นใส่ค่าที่ทราบแล้วคำนวณคำตอบสุดท้าย (ระวังหน่วย! บางครั้งคุณจะต้องแปลงหน่วยก่อนคำนวณ)
ตัวอย่างจลนศาสตร์หนึ่งมิติ
ตัวอย่างที่ 1: โฆษณาอ้างว่ารถสปอร์ตสามารถวิ่งจาก 0 ถึง 60 ไมล์ต่อชั่วโมงใน 2.7 วินาที รถคันนี้มีอัตราเร่งเป็น m/s2? มันเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วง 2.7 วินาทีนี้?
สารละลาย:
(แทรกรูปภาพ 2)
ปริมาณที่ทราบและไม่ทราบ:
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
ส่วนแรกของคำถามต้องมีการแก้ด้วยความเร่งที่ไม่ทราบสาเหตุ ที่นี่เราสามารถใช้สมการ #1:
v_f=v_i+at\implies a =\frac {(v_f-v_i)} t
ก่อนที่เราจะใส่ตัวเลข เราต้องแปลง 60 ไมล์ต่อชั่วโมงเป็น m/s:
60\cancel{\text{ mph}}\Bigg( \frac {0.477\text{ m/s}} {\cancel{\text{mph}}}\Bigg)=26.8\text{ m/s}
ดังนั้นความเร่งจะเป็นดังนี้:
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\underline{\bold{9.93}\text{ m/s}^2}
เพื่อค้นหาว่าเวลานั้นไปได้ไกลแค่ไหน เราสามารถใช้สมการ #2:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \times 9.93 \times 2.7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
ตัวอย่างที่ 2: ขว้างลูกบอลด้วยความเร็ว 15 ม./วินาที จากความสูง 1.5 ม. มันเร็วแค่ไหนเมื่อตกลงพื้น? ใช้เวลานานเท่าใดในการกระแทกพื้น?
สารละลาย:
(แทรกภาพที่ 3 )
ปริมาณที่ทราบและไม่ทราบ:
x_i=1.5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9.8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
ในการแก้ส่วนแรก เราสามารถใช้สมการ #3:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\implies v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
ทุกอย่างอยู่ในหน่วยที่สอดคล้องกันแล้ว ดังนั้นเราจึงสามารถเสียบค่าต่างๆ ได้:
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\approx\pm16\text{ m/s}
มีสองวิธีแก้ไขปัญหาที่นี่ อันไหนที่ถูก? จากแผนภาพ เราจะเห็นว่าความเร็วสุดท้ายควรเป็นลบ ดังนั้นคำตอบคือ:
v_f=\ขีดเส้นใต้{\ตัวหนา{-16}\ข้อความ{ m/s}}
ในการหาเวลา เราใช้สมการ #1 หรือสมการ #2 ก็ได้ เนื่องจากสมการ #1 นั้นง่ายต่อการใช้งาน เราจะใช้สมการนั้น:
v_f=v_i+at\implies t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\around \underline{\bold{3.2}\text{ s }}
โปรดทราบว่าคำตอบสำหรับส่วนแรกของคำถามนี้ไม่ใช่ 0 m/s ในขณะที่มันเป็นความจริงว่าหลังจากที่ลูกบอลตกลงพื้น มันจะมีความเร็วเป็น 0 คำถามนี้ต้องการทราบว่ามันวิ่งเร็วแค่ไหนในเสี้ยววินาทีนั้นก่อนที่จะกระทบ เมื่อลูกบอลสัมผัสกับพื้น สมการจลนศาสตร์ของเราจะไม่มีผลอีกต่อไป เนื่องจากความเร่งจะไม่คงที่
สมการจลนศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (สองมิติ)
โพรเจกไทล์เป็นวัตถุที่เคลื่อนที่ในสองมิติภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของโลก เส้นทางของมันคือพาราโบลาเพราะความเร่งเพียงอย่างเดียวเกิดจากแรงโน้มถ่วง สมการจลนศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีรูปแบบที่แตกต่างเล็กน้อยจากสมการจลนศาสตร์ที่แสดงด้านบน เราใช้ความจริงที่ว่าส่วนประกอบการเคลื่อนไหวที่ตั้งฉากกัน – เช่นแนวนอน x ทิศทางและแนวตั้ง y ทิศทาง - เป็นอิสระ
กลยุทธ์การแก้ปัญหาสำหรับปัญหาจลนศาสตร์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์:
ร่างไดอะแกรมของสถานการณ์ เช่นเดียวกับการเคลื่อนไหวแบบมิติเดียว จะเป็นประโยชน์ในการร่างภาพจำลองและระบุระบบพิกัด แทนการใช้ฉลาก x, วี และ สำหรับตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง เราจำเป็นต้องมีวิธีการระบุการเคลื่อนที่ในแต่ละมิติแยกกัน
สำหรับทิศทางแนวนอน มักใช้ x สำหรับตำแหน่งและ วีx สำหรับองค์ประกอบ x ของความเร็ว (โปรดทราบว่าความเร่งเป็น 0 ในทิศทางนี้ เราจึงไม่ต้องการตัวแปรสำหรับมัน) ใน y ทิศทางโดยทั่วไปมักใช้ y สำหรับตำแหน่งและ วีy สำหรับองค์ประกอบ y ของความเร็ว การเร่งความเร็วสามารถระบุได้ว่า y หรือเราสามารถใช้ความจริงที่ว่าเรารู้ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็น g ในทิศทาง y ลบ แล้วใช้นั่นแทน
เขียนรายการปริมาณที่ทราบและไม่ทราบโดยแบ่งปัญหาออกเป็นสองส่วน: การเคลื่อนที่ในแนวตั้งและแนวนอน ใช้ตรีโกณมิติเพื่อค้นหาองค์ประกอบ x และ y ของปริมาณเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่อยู่ตามแนวแกน การเขียนรายการในสองคอลัมน์อาจเป็นประโยชน์:
(แทรกตารางที่ 1)
หมายเหตุ: หากกำหนดความเร็วเป็นขนาดพร้อมกับมุม Ѳ, เหนือแนวราบ แล้วใช้เวกเตอร์สลายตัว วีx= vcos (Ѳ) และ วีy= vsin (Ѳ).
เราสามารถพิจารณาสมการจลนศาสตร์สามสมการก่อนหน้านี้และปรับให้เข้ากับทิศทาง x และ y ตามลำดับ
ทิศทาง X:
x_f=x_i+v_xt
ทิศทาง Y:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (y_f - y_i)
สังเกตว่าความเร่งใน y ทิศทางคือ -g ถ้าเราสมมติขึ้นเป็นบวก ความเข้าใจผิดที่พบบ่อยคือ g = -9.8 m/s2แต่สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง g ตัวมันเองเป็นเพียงขนาดของความเร่ง: g = 9.8 m/s2ดังนั้นเราต้องระบุว่าความเร่งเป็นลบ
แก้ปัญหาหนึ่งที่ไม่รู้จักในมิติใดมิติหนึ่ง แล้วเสียบสิ่งที่เหมือนกันทั้งสองทิศทาง แม้ว่าการเคลื่อนที่ในสองมิติจะเป็นอิสระจากกัน แต่ก็เกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวกัน ดังนั้นตัวแปรเวลาจึงเหมือนกันในทั้งสองมิติ (เวลาที่ลูกบอลเคลื่อนที่ในแนวตั้งจะเท่ากับระยะเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ในแนวนอน)
ตัวอย่างจลนศาสตร์การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์
ตัวอย่างที่ 1: กระสุนปืนถูกยิงในแนวนอนจากหน้าผาสูง 20 ม. ด้วยความเร็วเริ่มต้น 50 ม./วินาที ใช้เวลานานเท่าใดในการกระแทกพื้น? ลงจากฐานหน้าผาไกลแค่ไหน?
(แทรกภาพที่ 4)
ปริมาณที่ทราบและไม่ทราบ:
(แทรกตารางที่ 2)
เราสามารถหาเวลาที่ใช้ในการกระแทกพื้นได้โดยใช้สมการการเคลื่อนที่แนวตั้งที่สอง:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\implies t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\underline{ \bold{2.02}\text{ s} }
แล้วจะพบว่ามันลงจอดที่ไหน xฉเราสามารถใช้สมการการเคลื่อนที่ในแนวนอนได้ดังนี้
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\underline{\bold{101}\text{ s}}
ตัวอย่างที่ 2: ปล่อยลูกบอลด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาทีจากระดับพื้นดินที่มุม 30 องศากับแนวราบ มันลงจอดที่ไหน? ความเร็วของมันน้อยที่สุดเมื่อใด ตำแหน่งของมันคืออะไรในเวลานี้?
(แทรกภาพที่ 5)
ปริมาณที่ทราบและไม่ทราบ:
ก่อนอื่นเราต้องแยกเวกเตอร์ความเร็วออกเป็นส่วนประกอบ:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\ประมาณ 86.6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ ข้อความ{ ม./วินาที}
ตารางปริมาณของเราคือ:
(แทรกตาราง 3)
ก่อนอื่นเราต้องหาเวลาที่ลูกบอลลอยอยู่ เราสามารถทำได้ด้วยสมการแนวตั้งที่สอง_ โปรดทราบว่าเราใช้สมมาตรของพาราโบลาเพื่อกำหนดว่าสุดท้าย _y ความเร็วเป็นค่าลบของจุดเริ่มต้น:
จากนั้นเราจะกำหนดว่ามันจะเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหนใน x ทิศทางในเวลานี้:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 10.2\ประมาณ\ขีดเส้นใต้{\bold{883}\text m}
โดยใช้ความสมมาตรของเส้นทางพาราโบลา เราสามารถระบุได้ว่าความเร็วนั้นน้อยที่สุดที่ 5.1 วิเมื่อโพรเจกไทล์อยู่ที่จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่และองค์ประกอบแนวตั้งของความเร็วเป็น 0 องค์ประกอบ x และ y ของการเคลื่อนที่ในเวลานี้คือ:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 5.1\ประมาณ\ขีดเส้นใต้{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9.8 \times 5.1^2\ประมาณ \underline{\bold{128}\text{ m}}
สมการจลนศาสตร์อนุพันธ์
สมการ #1: หากความเร่งคงที่ ดังนั้น:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
แก้หาความเร็วได้ดังนี้
v_f=v_i+ที่
สมการ #2: ความเร็วเฉลี่ยสามารถเขียนได้สองวิธี:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
ถ้าเราแทนที่ _vฉ _ด้วยนิพจน์จากสมการ #1 เราได้รับ:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
การแก้ปัญหาสำหรับ xฉ ให้:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2
สมการ #3: เริ่มด้วยการแก้หา t ในสมการ #1
v_f=v_i+at \implies t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
เสียบนิพจน์นี้ใน for t ในความสัมพันธ์ความเร็วเฉลี่ย:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\implies \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i) )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
การจัดเรียงนิพจน์นี้ใหม่จะทำให้:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)