"Sine" är matematisk stenografi för förhållandet mellan två sidor av en höger triangel, uttryckt som en bråkdel: Sidan mittemot oavsett vilken vinkel du mäter är bråkens täljare, och hypotenusen för rätt triangel är nämnare. När du väl behärskar detta koncept blir det en byggsten för en formel som kallas sines-lag, som kan användas för att hitta saknade vinklar och sidor för en triangel så länge du känner till minst två av dess vinklar och en sida, eller två sidor och en vinkel.
Sammanfattning av Sines Law
Lagen om sines säger att förhållandet mellan en vinkel i en triangel och den motsatta sidan kommer att vara densamma för alla tre vinklar i en triangel. Eller för att uttrycka det på ett annat sätt:
synd (A) /a = synd (B) /b = sin (C) /c, där A, B och C är triangelns vinklar och a, b och c är längderna på sidorna mittemot dessa vinklar.
Det här formuläret är det mest användbara för att hitta saknade vinklar. Om du använder lagen om sines för att hitta den saknade längden på en sida av triangeln kan du också skriva den med sines i nämnaren:
a/ synd (A) = b/ sin (B) = c/sin(C)
Hitta en saknad vinkel med Sines Law
Tänk dig att du har en triangel med en känd vinkel - låt oss säga att vinkel A mäter 30 grader. Du känner också till måttet på två sidor av triangeln: sida a, som är motsatt vinkel A, mäter 4 enheter och sida b mäter 6 enheter.
Akta dig för det tvetydiga fallet med sineslag, som kan uppstå om du är, som i detta problem, med tanke på längden på två sidor och en vinkel som inte är mellan dem. Det tvetydiga fallet är helt enkelt en varning om att det under dessa specifika omständigheter kan finnas två möjliga svar att välja mellan. Du har redan hittat ett möjligt svar. För att analysera ett annat möjligt svar, dra den vinkel du just hittat från 180 grader. Lägg till resultatet i den första kända vinkeln du hade. Om resultatet är mindre än 180 grader är det "resultat" som du just lagt till i den första kända vinkeln en andra möjlig lösning.
Mata in all känd information i den första formen av sinuslagen, vilket är bäst för att hitta saknade vinklar:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6 = sin (C) /c
Välj sedan ett mål; i detta fall, hitta måttet på vinkel B.
Att ställa in problemet är lika enkelt som att ställa in det första och andra uttrycket för denna ekvation lika med varandra. Du behöver inte oroa dig för den tredje terminen just nu. Så du har:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6
Använd en miniräknare eller ett diagram för att hitta sinus för den kända vinkeln. I det här fallet är synd (30) = 0,5, så du har:
(0,5) / 4 = sin (B) / 6, vilket förenklar till:
0,125 = sin (B) / 6
Multiplicera varje sida av ekvationen med 6 för att isolera sinusmätningen av den okända vinkeln. Detta ger dig:
0,75 = sin (B)
Hitta den inversa sinus eller bågsida för den okända vinkeln, med din räknare eller en tabell. I detta fall är den inversa sinus på 0,75 ungefär 48,6 grader.
Varningar
Hitta en sida med Sines-lagen
Tänk dig att du har en triangel med kända vinklar på 15 och 30 grader (låt oss kalla dem A respektive B), och längden på sidan a, som är motsatt vinkel A, är 3 enheter lång.
Som tidigare nämnts lägger de tre vinklarna i en triangel alltid upp till 180 grader. Så om du redan känner till två vinklar kan du hitta måttet på den tredje vinkeln genom att subtrahera de kända vinklarna från 180:
180 - 15 - 30 = 135 grader
Så den saknade vinkeln är 135 grader.
Fyll i den information du redan känner till lagen om sines-formeln med hjälp av den andra formen (som är enklast när du beräknar en saknad sida):
3 / sin (15) = b/ synd (30) = c/sin(135)
Välj vilken saknad sida du vill hitta längden på. I det här fallet, för enkelhets skull, hitta längden på sidan b.
För att ställa upp problemet väljer du två av sinusförhållandena i sines-lag: den som innehåller ditt mål (sida b) och den du redan känner till all information för (det är sidan a och vinkel A). Ställ in de två sinusförhållandena lika med varandra:
3 / sin (15) = b/sin(30)
Lös nu för b. Börja med att använda min räknare eller en tabell för att hitta värdena för sin (15) och sin (30) och fyll dem i din ekvation (för det här exemplets skull, använd fraktionen 1/2 istället för 0,5), vilket ger du:
3/0.2588 = b/(1/2)
Observera att din lärare berättar hur långt (och om) du ska avrunda dina sinusvärden. De kan också be dig att använda det exakta värdet av sinusfunktionen, vilket i fallet med sin (15) är väldigt rörigt (√6 - √2) / 4.
Därefter förenklar du båda sidor av ekvationen, kom ihåg att dela med en bråkdel är samma som att multiplicera med dess inversa:
11.5920 = 2_b_
Byt sidorna av ekvationen för enkelhets skull, eftersom variabler vanligtvis listas till vänster:
2_b_ = 11.5920
Och slutligen, sluta lösa för b. I det här fallet är allt du behöver göra att dela båda sidor av ekvationen med 2, vilket ger dig:
b = 5.7960
Så den saknade sidan av din triangel är 5.7960 enheter lång. Du kan lika gärna använda samma procedur för att lösa sidan c, som sätter sin term i sines-lagen lika med termen för sidan a, eftersom du redan känner till sidans fullständiga information.
