Hur man löser en kvadratrotekvation

Kvadratroten av ett tal är ett värde som, när det multipliceras med sig själv, ger det ursprungliga numret. Till exempel är kvadratroten på 0 0, kvadratroten på 100 är 10 och kvadratroten på 50 är 7,071. Ibland kan du räkna ut eller helt enkelt komma ihåg kvadratroten av ett tal som i sig är ett "perfekt kvadrat", vilket är produkten av ett heltal multiplicerat med sig självt; när du går igenom dina studier kommer du sannolikt att utveckla en mental lista över dessa siffror (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problem med kvadratrötter är oumbärliga inom teknik, beräkning och praktiskt taget alla världar i den moderna världen. Även om du enkelt kan hitta kvadratrotekvationsräknare online (se Resurser för ett exempel) är det viktigt att lösa kvadratrotekvationer skicklighet inom algebra, eftersom det låter dig bli bekant med att använda radikaler och arbeta med ett antal problemtyper utanför kvadratrötterna i sig.

Det faktum att multiplicera två negativa tal tillsammans ger ett positivt tal är viktigt i kvadratrotsvärlden eftersom det antyder att positiva tal faktiskt har två kvadratrötter (till exempel kvadratrötterna på 16 är 4 och −4, även om bara de förra är intuitiva). På samma sätt har negativa tal inte riktiga kvadratrötter, eftersom det inte finns något verkligt tal som får ett negativt värde när det multipliceras med sig självt. I denna presentation ignoreras den negativa kvadratroten av ett positivt tal, så att "kvadratrot av 361" kan tas som "19" snarare än "−19 och 19."

När du försöker uppskatta värdet på en kvadratrot när ingen räknare är praktisk är det också viktigt att inse att funktioner som involverar kvadrater och kvadratrötter inte är linjära. Du kommer att se mer om detta i avsnittet om diagram senare, men som ett grovt exempel har du redan observerat att kvadratroten på 100 är 10 och kvadratroten på 0 är 0. I sikte kan detta leda till att du gissar att kvadratroten för 50 (som är halvvägs mellan 0 och 100) måste vara 5 (vilket är halvvägs mellan 0 och 10). Men du har också redan lärt dig att kvadratroten på 50 är 7.071.

Slutligen kanske du har internaliserat tanken att multiplicera två nummer tillsammans ger ett tal större än sig själv, vilket antyder att kvadratrötter av tal alltid är mindre än originalet siffra. Så är inte fallet! Siffror mellan 0 och 1 har också kvadratrötter, och i alla fall är kvadratroten större än det ursprungliga numret. Detta visas lättast med hjälp av bråk. Till exempel, 16/25, eller 0,64, har en perfekt fyrkant i både täljaren och nämnaren. Detta betyder att kvadratroten av fraktionen är kvadratroten av dess övre och nedre komponenter, vilket är 4/5. Detta är lika med 0,80, ett större antal än 0,64.

"Kvadratroten avx"skrivs vanligtvis med det som kallas ett radikaltecken eller bara en radikal (√). Således för allax​:

representerar dess kvadratrot. Vänd det här, kvadraten på ett talxskrivs med en exponent på 2 (x​²). Exponenter tar överskrift på ordbehandling och relaterade applikationer och kallas också befogenheter. Eftersom radikala tecken inte alltid är lätta att producera på begäran, ett annat sätt att skriva "kvadratroten avx"är att använda en exponent:

Detta är i sin tur en del av ett allmänt system:

betyder "höjaxtill kraften iy, ta sedan 'z"roten till det."x​^1/2 betyder således "höjaxtill den första makten, vilket är helt enkeltxigen, och ta sedan den 2 roten av den, eller kvadratroten. "Utöka detta,x​^(5/3) betyder "höjaxtill kraften 5, hitta sedan den tredje roten (eller kubrot) av resultatet. "

Radikaler kan användas för att representera andra rötter än 2, kvadratroten. Detta görs genom att helt enkelt lägga till ett överskrift längst upp till vänster om radikalen.

representerar sedan samma antal somx​^(5/3) från föregående stycke gör.

De flesta kvadratrötter är irrationella tal. Det betyder att de inte bara är snygga, snygga heltal (t.ex. 1, 2, 3, 4.. .), men de kan inte heller uttryckas som ett snyggt decimaltal som slutar utan att behöva avrundas. Ett rationellt tal kan uttryckas som en bråkdel. Så även om 2,75 inte är ett heltal är det ett rationellt tal eftersom det är samma sak som fraktionen 11/4. Du fick tidigare veta att kvadratroten på 50 är 7,071, men detta avrundas faktiskt från ett oändligt antal decimaler. Det exakta värdet på √50 är 5√2, och du ser hur detta bestäms snart.

Du har redan sett att ekvationer i att involvera kvadrater och kvadratrötter är olinjära. Ett enkelt sätt att komma ihåg detta är att graferna för lösningarna för dessa ekvationer inte är linjer. Det här är vettigt, för om kvadraten på 0 som sagt är 0 och kvadraten på 10 är 100 men kvadraten av 5 är inte 50, grafen som härrör från att helt enkelt kvadraera ett tal måste böja sig till rätt värden.

Detta är fallet med diagrammet för

som du själv kan se genom att besöka kalkylatorn i resurserna och ändra parametrarna. Linjen passerar genom punkten (0,0) och y går inte under 0, vilket du kan förvänta dig eftersom du vet detx​² är aldrig negativt. Du kan också se att diagrammet är symmetriskt runty-ax, vilket också är vettigt eftersom varje positiv kvadratrot av ett visst tal åtföljs av en negativ kvadratrot av samma storlek. Därför, med undantag av 0, varjeyvärde i diagrammet föry​ = ​x​² är associerad med tvåx-värden.

Ett sätt att ta itu med grundläggande kvadratrotproblem för hand är att leta efter perfekta rutor "dolda" inuti problemet. För det första är det viktigt att vara medveten om några viktiga egenskaper hos rutor och kvadratrötter. En av dessa är det, precis som √x​² är helt enkelt lika medx(eftersom radikalen och exponenten avbryter varandra):

Det vill säga om du har en perfekt kvadrat under en radikal som multiplicerar ett annat tal kan du "dra ut det" och använda det som en koefficient för det som finns kvar. Till exempel att återgå till kvadratroten på 50

Ibland kan du avsluta med ett antal som involverar kvadratrötter som uttrycks som en bråkdel, men fortfarande är ett irrationellt tal eftersom nämnaren, täljaren eller båda innehåller en radikal. I sådana fall kan du bli ombedd att rationalisera nämnaren. Till exempel numret

har en radikal i både täljaren och nämnaren. Men efter att ha granskat "45" kanske du känner igen det som produkten i 9 och 5, vilket betyder det

Därför kan fraktionen skrivas

Radikalerna avbryter varandra och du sitter kvar med 6/3 = 2.