När du börjar lösa algebraiska ekvationer som involverar polynomier blir förmågan att känna igen speciella, lättfakturerade former av polynom mycket användbara. En av de mest användbara "lättfaktor" -polynomerna att upptäcka är den perfekta kvadraten, eller det trinomium som är resultatet av att kvadrera ett binomium. När du väl har identifierat en perfekt fyrkant är det ofta en viktig del av problemlösningen att ta med den i dess enskilda komponenter.
Innan du kan faktorera en perfekt fyrkantig trinomial måste du lära dig att känna igen den. Ett perfekt torg kan ha en av två former
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, som är produkten av} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, vilket är produkten av} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Kontrollera den första och tredje termerna i trinomialet. Är de båda rutor? Om ja, ta reda på vad de är rutor av. Till exempel i det andra "verkliga världen" exemplet ovan:
y ^ 2 - 2y + 1
termeny2 är uppenbarligen kvadraten avy.Termen 1 är, kanske mindre uppenbart, kvadraten på 1, eftersom 12 = 1.
Multiplicera rötterna för första och tredje termerna tillsammans. För att fortsätta exemplet är detyoch 1, vilket ger digy × 1 = 1yeller baray.
Därefter multiplicerar du din produkt med 2. Fortsätter du exemplet har du 2y.
Slutligen, jämför resultatet av det sista steget med polynomets medelperiod. Matchar de? I polynomety2 – 2y+ 1, det gör de. (Tecknet är irrelevant; det skulle också vara en match om mellanperioden var +2y.)
Eftersom svaret i steg 1 var "ja" och ditt resultat från steg 2 matchar polynomets medelperiod, vet du att du tittar på ett perfekt fyrkantigt trinomium.
När du väl vet att du tittar på en perfekt fyrkantig trinomial är processen med att ta med den helt enkelt.
Identifiera rötterna, eller siffrorna som kvadreras, i den första och tredje termerna av trinomialen. Tänk på ett annat av dina exempel på trinomialer som du redan vet är en perfekt fyrkant:
x ^ 2 + 8x + 16
Uppenbarligen är antalet som kvadreras under den första terminenx. Antalet som kvadreras under tredje terminen är 4, eftersom 42 = 16.
Tänk tillbaka på formlerna för perfekta fyrkantiga trinomials. Du vet att dina faktorer kommer att ha antingen formen (a + b)(a + b) eller formuläret (a – b)(a – b), varaochbär siffrorna i kvadrat i första och tredje termerna. Så du kan skriva ut dina faktorer på ett sådant sätt och utelämna tecknen mitt i varje termin för tillfället:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
För att fortsätta exemplet genom att ersätta rötterna för din nuvarande trinomial har du:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Kontrollera mitten av steget. Har den ett positivt tecken eller ett negativt tecken (eller, för att uttrycka det på ett annat sätt, läggs det till eller subtraheras)? Om det har ett positivt tecken (eller läggs till), har båda faktorerna i trinomialen ett plustecken i mitten. Om det har ett negativt tecken (eller subtraheras) har båda faktorerna ett negativt tecken i mitten.
Medeltiden för det aktuella exemplet trinomial är 8x- det är positivt - så du har nu tänkt på det perfekta fyrkantiga trinomialet:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Kontrollera ditt arbete genom att multiplicera de två faktorerna tillsammans. Att använda FOIL eller den första, yttre, inre, sista metoden ger dig:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Att förenkla detta ger resultatetx2 + 8x+ 16, som matchar ditt trinomial. Så faktorerna är korrekta.