Vad är en ojämlikhet?

När du börjar lära dig algebra används ett likhetstecken för att betyda, bokstavligen, de två sakerna är lika med varandra. Till exempel 3 = 3, 5 = 3 + 2, äpple = äpple, päron = päron och så vidare, som alla är exempel på ekvationer. Som jämförelse ger en ojämlikhet dig två uppgifter: För det första att de saker som jämförs ärintelika, eller åtminstone inte alltid lika; och för det andra, på vilket sätt de är ojämlika.

En ojämlikhet skrivs precis som du skulle skriva en ekvation, förutom att istället för att använda ett likhetstecken använder du ett av ojämlikhetstecknen. De är ">" a.k.a. "större än", " och ocholika.

En visuell representation - det vill säga en graf - av en ojämlikhet är ett annat sätt att visualisera vad en ojämlikhet egentligen betyder. Grafiska ojämlikheter är också något du kommer att bli ombedd att göra i matematikklassen. Föreställ dig följande ekvation:

Om du skulle rita ut detta skulle det vara en diagonal linje som passerar rakt genom ursprunget, vinklat uppåt och höger med lutningen 1 eller, om du föredrar, 1/1. Alla möjliga lösningar för ekvationen ligger på den linjen och bara på den linjen.

Men tänk om du hade ojämlikheten istället för en ekvation

Denna särskilda ojämlikhetssymbol skulle läsas som "mindre än eller lika med" och säger dig detx​ = ​yär en möjlig lösning, tillsammans med varje kombination därxär mindre äny​.

Så linjen som representerarx​ = ​yär fortfarande en möjlig lösning, och du skulle kunna dra in den som vanligt. Men du skulle också skugga i området till vänster om raden, eftersom något värde varxär mindre änyingår också i dina lösningar.

Om istället förx​ ≤ ​ydu hade den stränga ojämlikhetenx​ < ​y, skulle du rita den exakt samma somx​ ≤ ​y,förutom det förx​ = ​yinte längre är ett alternativ, skulle du inte dra den linjen fast. Istället skulle du ritax​ = ​yin som en streckad eller streckad linje, som visar att även om det inte är en del av lösningen, är det fortfarande gränsen mellan den giltiga lösningsuppsättningen (i det här fallet till vänster om din linje) och de icke-lösningarna på andra sidan av linje.

För det mesta fungerar att lösa ojämlikheter exakt samma som att lösa ekvationer. Till exempel om du stod inför den enkla ekvationen

du skulle dela båda sidor med 2 för att komma fram till svaretx​ = 3.

Du skulle göra detsamma om du istället stod inför samma siffror som en ojämlikhet: Säg, 2x≥ 6. Du delar båda sidor med 2 och når lösningenx≥ 3 eller, för att skriva ut det på vanlig engelska,xrepresenterar alla siffror som är större än eller lika med 3.

Du kan också lägga till och subtrahera siffror på båda sidor av en ojämlikhet, precis som du gör med ekvationer, eller dela med samma nummer på båda sidor.

Men det finns ett anmärkningsvärt undantag att se upp för: Om du multiplicerar eller delar båda sidor av en ojämlikhet med ett negativt tal, måste du vända riktningen för ojämlikhetstecknet. Tänk till exempel på ojämlikheten -4y​ > 24.

Att isoleraymåste du dela båda sidor med -4. Det är din utlösare för att byta riktning på ojämlikhetstecknet. Så efter delning har du:

Observera att uppsättningen lösningar för ojämlikheten just har inkluderat −7, −8, −7.5, −9.23 och ett oändligt antal andra lösningar som är mindre än −6, men inte −6 själv, eftersom ojämlikhetstecknet inte har den extra stapeln för "eller lika med." Så för att kontrollera ditt arbete, se till att du ersätter värden från din lösning uppsättning.

Om du byter ut −6 till den ursprungliga ojämlikheten hamnar du med −4 × −6> 24 eller 24> 24, vilket inte är meningsfullt. Det bör inte heller, eftersom −6 inte ingår i lösningen. Men om du skulle börja ersätta värden somäringår i lösningsuppsättningen, som −7, får du giltiga resultat. Till exempel:

vilket förenklar till:

vilket är ett giltigt resultat.